Deux angles égaux dans des triangles non semblables

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Soit un triangle ABC (acutangle pour commencer), ses trois médiatrices. et les "points de sortie" de celles-ci (je rappelle qu'il y en a régulièrement deux sur le plus grand des trois côtés, et un sur le deuxième plus grand côté). Le cercle (en rouge) passant par ces trois points de sortie recoupe les trois médiatrices en trois autres points formant un triangle (en bleu).

Comment expliquer que, dans ce triangle bleu, le plus petit des angles ait la même valeur que le plus petit des angles du triangle ABC ?

C'est curieux, non ?

Bien cordialement, JLB

pldx1

Bonjour, 

$\def\ptv{~;~}
\def\etc{,\:\mathrm{etc}}
\def\where{\qquad\mathrm{where}\;}
\def\Sa{S_{a}}
\def\Sb{S_{b}}
\def\Sc{S_{c}}
$ Quand on fait exprès de rompre la symétrie, alors la symétrie est rompue (suite). On considère à nouveau le triangle de Jelobreuil, où l'on a fait exprès de prendre deux points $X_{y}$ sur le même côté. Il y a six triangles de cette sorte. Ils jouent tous le même rôle.

Considérons $T_{4}\doteq\left(C_{a},A_{c},B_{c}\right)$ et $T_{5}\doteq\left(C_{a},A_{c},B_{a}\right)$ ... voir la figure du fil précédent. On a: \[ C_{a},A_{c},B_{c}\simeq\left(\begin{array}{c} b^{2}-a^{2}\\ 0\\ c^{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} a^{2}\\ 0\\ b^{2}-c^{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ b^{2}\\ a^{2}-c^{2} \end{array}\right)\ptv\Gamma_{4}\simeq\left[\begin{array}{c} b^{2}c^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)\\ c^{2}a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)\\ a^{2}b^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)\\ 4\,\Sa\,\Sc \end{array}\right] \]

\[ C_{a},A_{c},B_{a}\simeq\left(\begin{array}{c} b^{2}-a^{2}\\ 0\\ c^{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} a^{2}\\ 0\\ b^{2}-c^{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} c^{2}-a^{2}\\ b^{2}\\ 0 \end{array}\right)\ptv\Gamma_{5}\simeq\left[\begin{array}{c} b^{2}c^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)\\ c^{2}a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)\\ a^{2}b^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)\\ 4\,\Sa\,\Sc \end{array}\right] \] On calcule les réintersections:

\[ A_{4},C_{5}\simeq\left[\begin{array}{c} -a^{2}\Sb\\ a^{2}\Sa+2\,\Sb\,\Sc\\ a^{2}c^{2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^{2}c^{2}\\ c^{2}\Sc+2\,\Sa\,\Sb\\ -c^{2}\Sb \end{array}\right] \] \[ B_{4},B_{5}\simeq\left[\begin{array}{c} -a^{2}\Sa^{2}-\Sb\,\Sc\,c^{2}\\ \Sb^{2}b^{2}\\ -\Sa\,a^{2}c^{2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -\Sc\,a^{2}c^{2}\\ \Sb^{2}b^{2}\\ -c^{2}\Sc^{2}-a^{2}\Sa\Sb \end{array}\right] \] \[ C_{4},A_{5}\simeq\left[\begin{array}{c} -a^{4}\Sa\\ -a^{2}\Sa^{2}-b^{2}\,\Sb\,\Sc\\ c^{2}\left(a^{2}\Sa-\Sc^{2}\right) \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^{2}\left(c^{2}\Sc-\Sa^{2}\right)\\ -c^{2}\Sc^{2}-b^{2}\,\Sb\Sa\\ -c^{4}\Sc \end{array}\right] \] Cela permet d'illustrer l'action des groupes en géométrie: si l'on permute $a$ et $c$, alors $a$ et $c$ ont été permutés (théorème attribué à Dieudonné soi-même). Il reste à vérifier que  \[ \mathrm{factor}\left(\mathrm{tanpts}\left(A_{4},B_{4},C_{4}\right)-\mathrm{tanpts}(C,A,B) \right)=0 \] Et l'on aura démontré six théorèmes d'un coup, dont  \[ \left(C_{5}B_{5},C_{5}A_{5}\right)=\left(AC,AB\right) \] Rien à voir avec le tri des longueurs des côtés (ce n'est pas pour rien que les longueurs n'ont jamais été utilisées dans tous ces calculs).  

Cordialement, Pierre.

jelobreuil

Merci beaucoup, Pierre, de t'intéresser à mes "petits problèmes", et de confirmer que ce que je "découvre" s'explique de façon très "banale" pour les artistes des calculs !

Mais comme je n'en suis pas un, j'aimerais bien une explication plus "synthétique" ...

Bien cordialement JLB

 

pldx1

C'est tout simple. Les triangles $OAB$ et $O_4 B_4  C_4$  sont semblables  ($O_4$  est le centre du cercle 4).   Et donc l'égalité angulaire est valable pout tout point du cercle (4): le point $A_4$ ne joue aucun rôle spécial là-dedans. On peut même utiliser une inversion par rapport à un cercle bien choisi, cela fera plus riche.
Mais, encore une fois, peu importe les tailles relatives des trois côtés.