Polynôme irréductible

Kcg

Bonjour à tous !!
 Je fais face à un exercice où on me demande si le polynôme $p(x)=x^4+x^2+1$ est irréductible dans $\Q[X]$ . J'ai déjà utilisé tous les critères à ma connaissance et aucun ne me permet de conclure. Comme critère, j'ai essayé celui d'Eisenstein sur p(x) et p(x+1); j'ai essayé d'étudier l'irréductible de $p(x+1)=x^4+4x^3+7x^2+6x+3$ dans $\mathrm{F_{3}}$. Mais aucun critère ne me permet de conclure. 
  J'ai besoin d'un petit coup de pouce s'il vous plaît.

mateo

Bonjour,

ceci est une équation bicarrée donc un changement de variables $X = x^2$ devrait t'aider.

Cordialement,
-- 
Mateo.

Chaurien

$X^4+X^2+1=(X^2+1)^2-X^2$

Math Coss

Ou encore \[X^4+X^2+1=\frac{X^6-1}{X^2-1}=\cdots\]et on factorise à l'aide des racines de l'unité, on simplifie le dénominateur et on regroupe les racines conjuguées pour revenir avec des coefficients réels, ce qui donne en fait des coefficients rationnels.

noix de totos

Ça me rappelle cet exercice posé au bac Maths-Élem. 1963 au Laos : Écrire $A(x) = x^8+x^4+1$ sous forme d'un produit de polynômes du $2$nd degré. 

Chaurien

Je répète : $X^4+X^2+1=(X^2+1)^2-X^2=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$. Il me semble que ça suffit pour la question posée, non ?

Kcg

Merci à tous !! C'est vrai que j'étais plus concentré à montrer l'irréductibilité.

Chaurien, ta factorisation suffit en effet pour répondre à la question. Merci encore.

Mateo, j'ai pensé à faire le changement que tu m'indiques mais avec les 04 racines complexes que j'obtenais, j'ai abandonné cette voie. C'est vrai que j'aurais dû penser à multiplier mes facteurs de degré 1 deux à deux comme dans l'indication de Math coss. Merci à vous deux encore.

Chaurien

Par contre, le polynôme  $X^4-X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb Q$.

Eh tiens, on pourrait se demander pour quels  $b \in \mathbb Q$ le polynôme $X^4+b X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb Q$.

Et puis après peut-être $X^4+b X^2+c$ ?

Kcg

Comment vois-tu celà Chaurien ?
 D'abord si je note $p(x)=x^4-x^2+1$,on a $p(x+1)=x^4+4x^3+5x^2+2x+1$ . On ne peut appliquer le critère d'Eisenstein sur aucun de ces polynômes et bien que  $p$ n'admet pas de racine dans $\Q$ , ça ne nous aide pas.

Chaurien

Je suis parti sur la même idée. On a :

$X^4-X^2+1=X^4+2X^2+1-3X^2=(X^2+1)^2-(X \sqrt 3)^2=(X^2+X \sqrt 3+1)(X^2-X \sqrt 3+1)$.

C'est la décomposition en facteurs irréductibles sur $\mathbb R$, qui est unique. Si le polynôme  $X^4-X^2+1$ n'était pas irréductible sur $\mathbb Q$, il serait le produit de deux polynômes du second degré à coefficients rationnels, et il aurait donc ainsi une autre décomposition sur $\mathbb R$, ce qui est impossible.

Kcg

Astucieux d'utiliser l'unicité, à coefficient constant prêt, de la décomposition en facteurs irréductibles dans $\R[x]$. Merci encore Chaurien.

gai requin

Pour $b,c\in\Q$, je trouve que :

$$X^4+bX^2+c\text{ est irréductible }\\\Leftrightarrow X^2+bX+c\text { est irréductible et }(c\text{ n'est pas un carré ou }(2\sqrt c-b\text{ et }-2\sqrt c-b\text{ ne sont pas des carrés}))$$

Chaurien

Quelle mémoire, noix de totos, se souvenir du sujet de maths du bac 1963 au Laos !

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Laos_mathelem_juin_1963.pdf

Au moins à l'époque un bachelier savait ce qu'est une hyperbole.

noix de totos

Je me suis surtout souvenu que je trouvais très bien qu'à l'époque on demande des applications non triviales des identités remarquables, sur un exercice tout à fait pertinent.

Pourrait-on encore donner ce type d'exercice aujourd'hui ?

gai requin

Personne ne semble intéressé par [ma réponse] à la question posée [ici] par Chaurien 😴

noix de totos

Si, moi ça m'intéresse...

Dans le même esprit, on sait que $X^4 + aX^2 + b^2$, avec $a,b \in \mathbb{Z}$, est l'un des exemples de polynômes réductible sur $\mathbb{F}_p$ pour tout premier $p$.

gai requin

Merci noix de totos,

J'ai repris ma preuve du résultat sur $\mathbb Q$ pour essayer de l'adapter à ton résultat sur $\mathbb F_p$, et ça fonctionne, essentiellement parce que dans $\mathbb F_p$, $\text{non carré }\times\text{ non carré }=\text{ carré}$ !

Avec ces deux résultats, on peut donc construire des tas de polynômes à coefficients entiers irréductibles dans $\mathbb Q[X]$ et réductibles modulo $p$ pour tout premier $p$.

noix de totos

C'est ça, c'était le but.

Kcg

Gai requin, je ne vois pas l'idée qui t'a conduit à cette conclusion. Moi je pensais plutôt à trouver des conditions pour que $p(x)=x^4+bx^2+c$ ne soit pas factorisable dans$\Q$. Donc j'évolue de la sorte : $p(x)=(x^2+b/2)^2-(\frac{b^2-4c}{4})$ qui n'est pas factorisable dans $\Q$ si et seulement si $b^2-4c$ n'est pas un carré et est positif.  De cette façon , p n'admet pas de zéro dans $\Q$ et sera produit de deux polynômes irréductibles dans $\R[x]$.
 Bonsoir à tous.

gai requin

Kcg, un contre-exemple à ton affirmation : $x^4-7x^2+1=(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)$ et pourtant, $b^2-4c=45$.

Kcg

Mince !! ça a été rapide le contre exemple. Bon je vais plutôt chercher à montrer que tes conditions marchent.

gai requin

J'ai élaboré ce contre-exemple à partir de ma CNS 😉