Une parallèle à la A-symédiane

Bouzar · November 2021

Bonsoir

Je propose ce nouveau problème.

Soit $ABC$ un triangle, $M$ le milieu de $[BC]$.

Le cercle circonscrit de $AMB$ rencontre $(AC)$ en $D$, autre que $A$. De même, le cercle circonscrit de $AMC$ rencontre $(AB)$ en $E$, autre que $A$. Soit $N$ le milieu de $[DE]$.

Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la A-symédiane de $ABC$.

Amicalement.

Rescassol · November 2021

Bonjour,

% Bouzar - 13 Novembre 2021 - Une parallèle à la A-symédiane

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

m=(b+c)/2; mB=(bB+cB)/2; % Milieu M de [BC]

[ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(a,b,m,aB,bB,mB); % Cercle ABM

syms d % Point D la droite (AC) où  recoupe le cercle ABM
dB=-(d-a-c)/(a*c); NulD=Factor((d-ob)*(dB-obB)-Rb2);

% On trouve:

d=(2*b*c^2-a*(b^2+c^2))/(2*b*(c-a));
dB=(2*bB*cB^2-aB*(bB^2+cB^2))/(2*bB*(cB-aB));

% De même:

e=(2*b^2*c-a*(b^2+c^2))/(2*c*(b-a));
eB=(2*bB^2*cB-aB*(bB^2+cB^2))/(2*cB*(bB-aB));

n=Factor((d+e)/2);  % Milieu N de [DE]
nB=Factor((dB+eB)/2);

% On trouve:

n=((b+c)*(b^2+c^2)*a^2 - 4*b*c*(b^2+c^2)*a + 2*b^2*c^2*(b+c))/(4*b*c*(a-b)*(a-c));

x6=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); % Point de Lemoine du triangle ABC
x6B=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

Nul=Factor((x6-a)*(nB-mB)-(x6B-aB)*(n-m)) % Égal à 0, donc (MN)//(AX_6)

Image: https://phorum.ens.fr/vanilla/uploads/editor/q8/rrwqn0ywzzvv.png

Cordialement,

Rescassol

Rescassol · November 2021

Bonjour,
Par permutation circulaire, les trois droites analogues à $(MN)$, parallèles aux trois symédianes, sont concourantes en $X_{141}\left(\dfrac{s_1^2s_2-3s_1s_3-2s_2^2}{2(s_1s_2-9s_3)}\right)$.
Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme · November 2021

Bonjour,
le problème de Bouzar est attirant, la figure de Rescassol le confirme, une preuve synthétique est en conséquence en attente...

Sincèrement
Jean-Louis.