Un point sur la droite d'Euler

Bouzar

Bonsoir,

Je propose ce problème.

Soit $ABC$ un triangle., $F_1, F_2$ les deux points de Fermat.

Soient $ G_a, G_b, G_c$ les centres de gravité des triangles $AF_1F_2, BF_1F_2, CF_1F_2,$ respectivement.

Montrer que le point de Steiner du triangle $G_aG_bG_c$ est le centre de gravité de $ABC.$

Soient $Sta, Stb, Stc$ les points de Steiner des triangles $AF_1F_2, BF_1F_2, CF_1F_2 $ respectivement.

Montrer que le centre de gravité du triangle $StaStbStc$ se trouve sur la droite d'Euler de $ABC.$

Rescassol

Bonsoir,

Voilà la première question en Morley circonscrit (où est passée la balise "code" ?):

% Suite du problème du 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat
% Bouzar - 13 Novembre 2021 - Un point sur la droite d'Euler

ga=(a+f1+f2)/3;
gb=(b+f1+f2)/3;
gc=(c+f1+f2)/3;

gaB=(aB+f1B+f2B)/3;
gbB=(bB+f1B+f2B)/3;
gcB=(cB+f1B+f2B)/3;

g=PointDeSteiner(ga,gb,gc,gaB,gbB,gcB);
g=subs(g,r^2,3);
[Ng Dg]=numden(g);

Ng=FracSym(Ng);
Dg=expand(Dg);
Dg=subs(Dg,r^3,3*r);
Dg=subs(Dg,r^2,3);
Dg=FracSym(Dg);

g=Factor(Ng/Dg) % On trouve g=s1/3, donc c'est gagné.

Cordialement,

Rescassol

PS: Merci Rémi.

rémi

La balise code est "dans la flèche" du "P retourné" de mise en forme des paragraphes.

Rescassol

Bonsoir,

Voilà la question 2 en calcul barycentrique, qui vient à la suite du code du fil parallèle:

% Suite du problème du 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat
% Bouzar - 13 Novembre 2021 - Un point sur la droite d'Euler

AF1=Distance2(A,F1,a,b,c);  % Carré de la distance AF_1
AF2=Distance2(A,F2,a,b,c);  % Carré de la distance AF_2

CoF2=Factor(1/(F1F2-AF2));
CoA=Factor(1/(AF2-AF1));
CoF1=Factor(1/(AF1-F1F2));

StA = Barycentre([A,F1,F2],[CoA,CoF1,CoF2]);
StA = PgcdBary(FactorT(StA));
StA = subs(StA,r^2,3);
StA = PgcdBary(FactorT(StA));
StA = subs(StA,[S^8 S^6 S^4 S^2],[S2^4 S2^3 S2^2 S2]);
StA = PgcdBary(FactorT(StA))

% On trouve pour StA:
% - a^6*b^2 - a^6*c^2 + 2*a^4*b^4 + 3*a^4*b^2*c^2 + 2*a^4*c^4 - a^2*b^6 - 3*a^2*b^4*c^2 - 3*a^2*b^2*c^4 - a^2*c^6 + 2*b^6*c^2 - b^4*c^4 + 2*b^2*c^6
% a^6*c^2 + a^4*b^4 - 3*a^4*c^4 - 2*a^2*b^6 + a^2*b^4*c^2 - a^2*b^2*c^4 + 3*a^2*c^6 + b^8 - b^4*c^4 + b^2*c^6 - c^8
% a^6*b^2 - 3*a^4*b^4 + a^4*c^4 + 3*a^2*b^6 - a^2*b^4*c^2 + a^2*b^2*c^4 - 2*a^2*c^6 - b^8 + b^6*c^2 - b^4*c^4 + c^8

% Une fonction pour la permutation circulaire:

ST(a,b,c)=StA;
StB=circshift(ST(b,c,a),1);
StC=circshift(ST(c,a,b),2);

GST = Barycentre([StA,StB,StC],[1,1,1]);

GST = PgcdBary(FactorT(GST))

% On trouve GST(1,1,1) ce qui conclut, comme quoi Bouzar est un petit
% cachotier.

Cordialement

Rescassol

Edit: La façon dont la balise code fonctionne m'échappe complètement ...