Structure de groupe définie sur une cubique

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Bonjour. 

Attention, la commutativité est évidente, mais une des deux opérations n'est pas associative: tout doit être lu de gauche à droite. Ainsi $a\star (b+c) $ doit plutôt être écrit $b+c⋆a$.

L'opération $\star $ est l'opération "troisième point" associant à deux points de la cubique le point où la droite joignant ces deux points recoupe la cubique. Lorsque les deux points sont égaux, le $P \star P$ est le tangentiel de $P$, i.e. le point où la tangente recoupe la courbe. 

Prendre pour exemple le folium de Descartes $x^3+y^3-6xy=0$. (1) Ecrire la macro Géogebra qui réalise cette opération. (2) Paramétrer et en déduire la relation entre les paramètres.

On choisit un point $U$ sur la courbe, et on définit $a+b\doteq a\star b \star U$. Prendre $U=(3,3)$. (3) Ecrire la macro Géogebra qui réalise cette opération. (4) Etablir la relation entre les paramètres. Est-elle associative ? (5) Quel est le neutre ? (6) Quel est l'opposé d'un point ?

On pose $N=U\star U$. Que se passe-t-il lorsque $a+b+c=N$ ? Peut-on démontrer cela (dans le cas général) avant d'avoir montré que $+$ est associative ? Et enfin: comment montrer que $+$ est associative ?

Cordialement, Pierre.

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Bonjour,

$U$ est neutre pour $+$. En effet $M+U=M\star U \star U$, c'est donc ni $U$ ni $M\star U$ sur la droite $[M, U, M\star U]$.

Cordialement, Pierre