$L_{PQ}$ isomorphisme ssi $P$ et $Q$ sont premiers entre eux

PetiteTaupe

Bonjour, je bute sur un petit exercice et j'aimerais vous demander votre aide.

Soient $P,Q\in\R[X]$ des polynômes non nuls de degrés respectifs $p$ et $q$ strictement positifs. L'objectif est de montrer que $$LPQ:(V,W)\in\R_{q−1}[X]\times\R_{p−1}[X]\longmapsto VP+WQ\in\R_{p+q−1}[X]$$ est un isomorphisme si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.

D'abord, supposons que $P\wedge Q=1$ et montrons que $\ker(L_{PQ})=\{0\}$.

Déjà le premier problème c'est que ça ne mène à rien. Dois-je montrer que le noyau est plutôt réduit à $\{1\}$ ? Parce que si $P\wedge Q=1$, il me suffit de prendre $(−Q,P)\neq (0,0)$ et $L_{PQ}(−Q,P)=0$...

Ensuite, supposons que $L_{PQ}$ est un isomorphisme. En particulier son image est $R_{p+q−1}[X]$. Montrons que $P\wedge Q=1$. $1\in\R_{p+q−1}[X]$ donc il existe $(U+W)$ et par Bézout ok.

Voilà, c'est l'injectivité qui bloque. Merci d'avance pour vos réponses.

Guego

Si P∧Q=1, il me suffit de prendre $(−Q,P)\neq(0,0)$.

Ça ne marche pas : $(−Q,P)\not \in \R_{q−1}[X]\times\R_{p−1}[X]$.

Mais bêtement, si $VP+WQ=0$, alors $VP=-WQ$, donc $P$ divise $WQ$. Or, $P$ et $Q$ sont premiers entre eux...

PetiteTaupe

Ah oui, merci !

PetiteTaupe

Soit $(V,W) \in \R_{q-1}[X] \times \R_{p-1}[X]$. Si $VP+WQ=0$, alors $VP = - WQ$, donc $P$ divise $WQ$.  Or, $P$ et $Q$ sont premiers entre eux : par le théorème de \textsc{Gauss}, $P$ divise $W$.  Donc $P$ divise tout polynôme de $\R_{p-1}[X]$.

Maintenant je dois montrer que $P$ est le polynôme nul. De même, $Q$ est le polynôme nul. 

Je ne sais pas comment on passe de $P$ divise tout polynôme à $P$ est le polynôme nul.
Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ? Merci d'avance.

Guego

$P$ divise $W$ Donc $P$ divise tout polynôme de $\R_{p−1}[X]$.

Qu'est-ce que tu racontes ?

Maintenant je dois montrer que $P$ est le polynôme nul.

Non, tu confonds avec $W$.

PetiteTaupe

Parce qu'on a pris $W$ quelconque dans $\R_{p-1}[X]$.

Ah oui, pardon c'est $W$.

TrackTrick

$P$ non nul de degré exactement $p$, peut-il diviser un polynôme ($W$) non nul de degré $p-1$ ?

Guego

Non, $W$ n'est pas quelconque. On n'a jamais montré que $P$ divisait n'importe quel polynôme de $\R_{p-1}[X]$.