Isomorphisme entre $GL(E)$ et $GL_n(K)$

fifi21

Bonjour,

pourquoi si on a E un K-ev de dimension n, alors on a un isomorphisme canonique entre GL(E) et GLn(K) ? Plutôt, comment l'expliciter ?

Merci

Joaopa

Fixe une base.

fifi21

Bonjour,

si je fixe la base canonique ? Et ensuite, je ne vois pas ?

gerard0

Non, une base de E (à priori, pas de base canonique dans E !!).

L'isomorphisme associe à chaque vecteur de E le vecteur de ses coordonnées.

Cordialement.

Thierry Poma

Bonjour

Puisque l'isomorphisme en question dépend du choix d'une base, il n'a rien de canonique.

Thierry

fifi21

D’accord merci, et donc si je veux l’expliciter cet isomorphisme, comment puis-je formuler ?

soit (e1, …,en) une base de E

soit f: E->K, x|-> sum x_ke_k ?

gerard0

Heu .. les $e_k$ne sont pas dans $\mathbb R^n$.

Tu n'as pas vraiment lu ma réponse !! Au travail !!

fifi21

Soit (e1,…,en) base de E en tant que K-ev

soit f : K^n->E qui à (x1,…,xn) associe sum xkek

je ne vois pas

raoul.S

Tu as ton isomorphisme $f$ entre $K^n$ et $E$.

Afin de définir un isomorphisme entre $GL(E)$ et $GL(K^n)$ tu prends un éléments $u$ de $GL(E)$.

À partir de là comment construire un application de $K^n\to K^n$ connaissant une bijection de $K^n\to E$ et une application de $u:E\to E$ ? Il faut suivre les flèches...

Philippe Malot

Bonsoir,
En quoi cet isomorphisme est-il canonique si on est obligé d'avoir un isomorphisme entre $E$ et $K^n$ ? 🤔

JLapin

fifi21 a dit 

comment l'expliciter ?

Merci

En utilisant la matrice d'une application linéaire dans une base que tu auras fixée auparavant.