Équation diophantienne $wp^2=a^2-b^2-abw$

francoiswolf

Bonjour

J'ai l'équation diophantienne suivante : p2w=−abw+a2−b2

La condition est que p soit différent de zéro modulo b. La solution triviale avec a=b n'est donc pas possible.

Je pense qu'il n'y a pas de solution avec les nombres entiers.

Auriez-vous une idée pour le démontrer ?

Merci

rémi

$wp^2=a^2-b^2-abw$

francoiswolf

Merci Rémi

Les solutions triviales telles que toutes les variables à nul ou a=-b=p ne sont pas recherchées.

J'ai essayé avec l'identité remarquable suivante sans succès

2ab=a^2+b^2-(a-b)^2

marco

Il y a des solutions. Par exemple $a=3,b=5,p=1,w=−1$.

Si $p$ est supposé premier, il y a aussi $a=−3,b=6,p=3, w=3$. On n'a bien $p$ différent de $0$ modulo $b$.

Il y a aussi $a=-3, b=8, p=5, w=-55$. Alors on a de plus $b$ différent de $0$ modulo $p$

Si, de plus, on cherche des entiers positifs $a=13, b=3, p=11, w=1$.

francoiswolf

Merci marco

Effectivement, on a des solutions. Cependant, j'ai mal exprimé ma condition. Je cherche PGCD(p,a)=1 et PGCD(p,b)=1.

On doit avoir avec w>0 la condition a^2>b*(b+a*w) et si w<0 on a la condition b>a*(a-b*w)

Peut-on déterminer ces solutions à l'aide de formule ?

francoiswolf

Par exemple avec w=1, on a

p^2=a^2-b*(b+a)

D'où on a

(p-a)*(p+a)=-b*(b+a)

D'où a>p

Mais il est difficile d'obtenir une formule pour les variables p,a,b,

francoiswolf

Désolé, Maple me donne effectivement des solutions

Pour w=1, j'ai

Avec b=1 j'ai

Merci

marco

Pour $w=2$, je trouve une famille infinie de solution:

$b=4x^2+4x−1$, $p=4x^2−4x−1$, $a=12x^2+4x+1$.

On a bien pgcd(b,p)=1 et pgcd(a,p)=1

francoiswolf

Merci marco

On a bien une infinité de solutions

La solution générale pour p est

C'est plus difficile d'obtenir une solution générale pour les autres variables a et b

francoiswolf

Je précise que la forme générale est bien

et

Le problème est de relier les paramètres c,d,t,e,f,g avec le paramètre w

francoiswolf

En fait, il faut avoir (a-b)*(a+b)=0 [w] d'où d+/-e=0[w] et c+/-g=0[w] et t+/-f=0[w]

Voilà, merci

marco

Pour $w=2x$ pair, on peut obtenir une paramétrisation. L'équation s'écrit $2xp^2=a^2-b^2-2xab$. Donc $2xp^2=(a-xb)^2-x^2b^2-b^2$.

Donc $2xp^2+(x^2+1)b^2=(a-xb)^2$.

Soit $A=p/(a-xb)$, $B=b/(a-xb)$. Alors l'équation s'écrit $2xA^2+(x^2+1)B^1=1$.

Une solution est $A=1/(x+1)$, $B=1/(x+1)$. Les solutions générales s'écrivent $A=1/(x+1)+t, B=1/(x+1)+st$ avec $s$ et $t$ des rationnels.

En reportant, on exprime $t$ en fonction de $s$ et de $x$. Donc on a une paramétrisation. Mais le calculs sont compliqués.

Si $A=f/g$, $B=h/g$ est solution, $p=f, b=h, a=g+xh, w=2x$, est solution de l'équation initiale.

francoiswolf

Bravo marco

C'est effectivement la forme d'une équation de Bézout avec x un entier relatif.

Avec x=2*q^2, on a la relation de Catalan: la somme de 3 carrés égale à un carré.

De plus, on a la relation suivante entre a et b : a^2-b^2=k*w. Avec w un nombre premier, on a : a-b=k*w ou a+b=k*w.

Obtenir la solution complète est compliqué.

LOU16

Bonsoir

On peut aussi, pour tout $w\in \N^*$, donner une description assez simple  de l'ensemble $$\mathcal E_w := \Big\{(a,b,c) \in \Z^3 \mid c>0, \:\: a\wedge b \wedge c =1, \:\: \:wc^2 =a^2-b^2-wab \Big\}, $$ formé par les solutions primitives de l'équation diophantienne proposée.

En notant pour tout $(x,y,z) \in\Z^3 $ tel que $z\neq 0, \quad \Phi(x,y,z) :=\left(\dfrac xd, \dfrac yd, \dfrac zd \right) $ avec $d=x\wedge y \wedge z,\:\: \dfrac zd>0.$

$$ \mathcal E_w =\Big\{\Phi (a_{p,q},b_{p,q},c_{p,q}) \mid p,q\in \Z,\ p\wedge  q =1\Big \}\quad\text{où}\quad \left\{\begin{array} {l}a_{p,q}=4(w^2+w)p^2-4w^2pq +(w^2+4)q^2.\\b_{p,q}= 4wp^2-8wpq-(w^2+4)q^2. \\c_{p,q}= -4wp^2-2(w^2+4)pq +(w^2+4)q^2. \end{array}\right.$$