Wallis

Rescassol

Bonsoir,
Dire qu'une suite croissante majorée converge pouvait se dire il y a $15$ ans en TS.
Cordialement,
Rescassol

OShine

Elle est majorée par $\dfrac{4}{\pi} (J_0- K_N)$ en effet.

Question $3$ 
On a $F(k,k)=\dfrac{5}{k^5}$ donc $\displaystyle\sum_{k=1}^n F(k,k) = 5 E_n,$ d'où en passant à la limite $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} F(k,k)=5E}$

Question $4$ 
Je n'ai pas réussi. J'ai écrit $F(k,l)-F(k,k+l)-F(k+l,l)=\dfrac{2}{ k^2 l^2}.$
Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m ( F(k,l)-F(k,k+l)-F(k+l,l)= \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m \dfrac{2}{ k^2 l^2}.$
Et ici blocage total.

Alexique

Tu peux pas faire un petit effort d’observation pour la 4 et remarquer que ton membre de gauche ne sert strictement à rien ? Franchement, c’est affolant. Regarde qui est M, regarde l’égalité qu’on te demande, vraiment, y a rien de difficile du tout, allez ! C’est encore une question de lycéen ou tout le monde te passe devant au concours juste parce que tu es persuadé qu’il faut en déduire quelque chose de la question d’avant alors que pas du tout.

Rescassol

Bonjour,
Question 2:  j'aurais dit, majorée par $M$, tout simplement.
Question 3:  $F(k,k)=\dfrac{5}{k^4}$ et non $\dfrac{5}{k^5}$ .
Question 4:  Alexique a raison.
Encore quelques coups de rame, tu y es presque.
Cordialement,
Rescassol

OShine

Ah d'accord merci.

On a $\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^m \dfrac{2}{k^2 l^2}=2  \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}  \displaystyle\sum_{l=1}^m \dfrac{1}{l^2} $

Il s'agit de deux suites convergentes vers $M$, donc $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\sum_{l=1}^{+\infty} \dfrac{2}{k^2 l^2}=2 M^2}$

Question 6 : 

Après 30 min de réflexion, je ne vois pas l'idée pour cette dernière question.

On a démontré que $M=\dfrac{\pi ^2}{6}$

Or $\displaystyle\sum_{k=1}^n F(k,k)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{5}{k^4} \longrightarrow 5E$ 

Rescassol

Bonjour,
Il n'y a pourtant qu'un seul mot à dire pour résoudre la dernière question.
Bon, rien n'empêche de le mettre dans une phrase.
Cordialement,
Rescassol

OShine

J'essaie mais je ne trouve pas.
Je n'arrive pas à utiliser la question $1$, je ne vois pas à quoi elle sert.

Rescassol

Bonjour,
Tu es d'accord, que si c'est moi qui dit le mot, on ne pourra plus dire que c'est toi qui a résolu la question ?
Cordialement,
Rescassol

OShine

Je suis d'accord mais je ne vois pas du tout. 

Rescassol

Bonjour,

Télescopique.

Cordialement,
Rescassol

OShine

Je ne vois rien qui se télescope. Je n'ai pas compris.

Rescassol

Bonjour,
Reprends l'égalité que t'as signalée comme inutile Alexique à la question 4.
Elle n'est pas inutile à la question 5, et la somme du membre de gauche est télescopique.
Cordialement,
Rescassol

OShine

Oui je vois mais je n'ai jamais étudié de somme télescopique "double". J'ai essayé pour $n=m=2$, il reste plein de termes. 

On a $\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^m  ( F(k,l) - F(k,k+l)-F(k+l,l) ) \\
= \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^m   F(k,l) - \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^m F(k,k+l) - \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^m  F(k+l,l)  $

Ici je bloque, je ne vois pas comment avancer. Je ne crois pas qu'on a le droit de faire un changement d'indice $j=k+l$ dans la somme.

Rescassol

Bonjour,
Dans cette double somme, il y a les termes d'indices égaux $F(k,k)$ dont la somme est $2M^2$, et tous les autres termes se simplifient puisque présents une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$. 
Il reste $5E=2M^2$ et c'est fini.
Cordialement,
Rescassol

OShine

Ce n'est pas possible, par exemple le terme $F(n,n+m)$ ne peut pas se simplifier car dans la somme de gauche il n'apparaît pas. 

Même pour $n=m=2$ ça ne se simplifie pas.

Il y a un problème quelque part 

Rescassol

Bonjour

Si ! Il se simplifie ! Mais plus loin.

Exemple, soit $F(42,257)$: il est l'un des $+F(m,n)$ pour $m=42$ et $n=257$, et aussi l'un des $-F(n,n+m)$ pour $m=257-42=215$ et $n=42$, pas pour les mêmes valeurs de $m$ et $n$, bien sûr.

Et il en est ainsi pour tous les termes sauf les $F(k,k)$ qui subsistent.

Cordialement,

Rescassol

PS: Il faut je ne sais combien de tentatives pour poster un message avec succès, c'est pénible.

OShine

Pourtant $\displaystyle\sum_{k=1}^2 \displaystyle\sum_{l=1}^2 F(k,l) -F(k,k+l) - F(k+l,l) \\
= (F(1,1)-F(1,2)-F(2,1) ) + (F(2,1)-F(2,3)-F(3,1)) + (F(1,2)-F(1,3)-F(3,2)) + (F(2,2)-F(2,4)-F(4,2)) \
=\boxed{F(1,1) -F(2,3) -F(3,1) -F(1,3) -F(3,2)+ F(2,2)-F(2,4)-F(4,2)}$.

Rescassol

Bonjour,
C'est parce que tu t'arrêtes à $2$. Tes termes négatifs se simplifient avec ce qu'il y a plus loin.
Il ne reste que les $F(k,k)$ qui sont positifs.
Ça vient du fait que $m+n$ est toujours différent de $m$ et de $n$.
Tiens, je te mets au défi: donne moi un terme négatif qui d'après toi ne se simplifie pas.
Cordialement,
Rescassol

OShine

Je veux bien te croire mais je n'arrive pas à le démontrer théoriquement.

Je sais démontrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^n ( F(k+1) - F(k) )=  F(n+1)-F(0)$ en effectuant un changement d'indice.

Mais là je ne vois pas comment procéder.

Rescassol

Bonjour,

Sans s'occuper de convergence, formellement:

Dans $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \sum_{l=1}^\infty F(k,l)$, il y a tous les $F(n,n+m)$ et tous les $F(m+n,n)$ qui vont donc se simplifier.

Et il reste ce qu'il reste.

Cordialement,

Rescassol

OShine

La dernière question est ultra difficile Rescassol c'est infaisable pour un lycéen. S'il faut passer par les sommes infinies pour le démontrer 

Après visuellement on voit que ça va se simplifier et qu'il va rester que les $F(n,n)$ mais il faudrait admettre un résultat intermédiaire. 

En fait je ne trouvais pas que ça se simplifiait car je travaillais sur les sommes finies. 

Rescassol

Bonsoir,
Plusieurs de mes élèves de TS y sont arrivés. Ils ne se sont pas posé de question sur l'infini, il leur suffisait de voir que si on rencontre un $F(m,n)$ avec $m$ et $n$ distincts, il y avait forcément son opposé plus loin.
Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

Pour finir le boulot, toi qui aimes les corrigés par dessus tout, il te reste à nous rédiger un magnifique corrigé en pdf et Latex de ce DM. 

Cordialement,

Rescassol

OShine

Ils étaient forts tes élèves.
Pour les élèves d'aujourd'hui ça serait du chinois cette double somme.

Alexique

Oshine, voici une proposition de "formalisation", toi qui veut des formules et des hiéroglyphes pour mieux comprendre. 
Je prends $N=M$ pour simplifier.
$$\sum_{1 \leq k,l \leq N}F(k,l) = \sum_{k=1}^N F(k,k)+\sum_{1\leq k \neq l \leq N} F(k,l)=\sum_{k=1}^N F(k,k)+\sum_{1\leq k < l \leq N} F(k,l)+\sum_{1\leq k > l \leq N} F(k,l).$$
Maintenant, traitons $\sum_{1\leq k,l \leq N} F(k,k+l)$, la somme $\sum_{1\leq k,l \leq N} F(k+l,l)$ se fait de manière analogue. Par changement de variable, 
$$\sum_{1\leq k,l \leq N} F(k,k+l)=\sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N F(k,k+l) = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j=k+1}^{N+k} F(k,j)= \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{j=k+1}^N F(k,j) + \sum_{k=1}^N \sum_{j=N+1}^{N+k} F(k,j).$$
J'ai scindé en deux puisque la première somme va se simplifier ($j=l$ bien sûr) ie $$\sum_{k=1}^{N-1} \sum_{j=k+1}^N F(k,j) =\sum_{1\leq k < j \leq N} F(k,j) .$$
Il reste donc à traiter le morceau  $\sum_{k=1}^N \sum_{j=N+1}^{N+k} F(k,j)$. 
Posons $a(N,k)=\sum_{j=N+1}^{N+k} F(k,j)$. Alors par décroissance de F en ses deux variables, $$a(N,K) \leq (N+k-(N+1)+1) \times \max_{j \in [N+1,N+k]} F(k,j) =kF(k,N+1) \leq \frac{1}{N^3}+\frac{1}{Nk^2}+\frac{1}{N^2},$$ (très grossier puisque je majore $\frac{1}{k}$ par $1$, d'où $$\sum_{k=1}^N \sum_{j=N+1}^{N+k} F(k,j) = \sum_{k=1}^N a(N,k) \leq \frac{1}{N^2}+\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{N} = o(1)+O(\frac{1}{N})+o(1)=o(1).$$
Ainsi, ce qui n'est pas "compensé" tend vers 0 et on procède de même pour l'autre somme double... d'où le résultat. Il te reste à imiter cela pour traiter le cas général $N \neq M$, à raisonner sur $\min(M,N)$ ou à supposer que par exemple $M \leq N$... mais ce n'est pas bien plus compliqué.

Alexique

OShine a dit :
Je sais démontrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^n ( F(k+1) - F(k) )=  F(n+1)-F(0)$ en effectuant un changement d'indice.

Inutile de faire un changement de variable, c'est juste se montrer inutilement technique et se la péter pour rien, tout en paumant tes élèves. Je te rappelle qu'au lycée, pour la somme des termes d'une suite géométrique, on fait appel à un téléscopage mais si tu l'expliques comme ça, tu vas les perdre. Être un bon prof, ce n'est pas se vanter en formalisant à mort avec des propriétés pompeuses et indigestes, c'est au contraire être capable de se mettre au niveau des élèves pour leur faire comprendre simplement des choses plus délicates.
On peut simplement dire qu'en explicitant la somme, des termes se compensent :
$$\displaystyle\sum_{k=0}^n ( F(k+1) - F(k) )= F(1)-F(0)+F(2)-F(1)+\cdots+F(n)-F(n-1)+F(n+1)-F(n)\\ =-F(0)+F(1)-F(1)+F(2)-F(2)+\cdots+F(n-1)-F(n-1)+F(n)-F(n)+F(n+1)\\ =F(n+1)-F(0),$$ et faire l'analogie entre cette formule de télescopage et le théorème fondamental de l'analyse (s'il a été vu) puisqu'on ne fait qu'intégrer une primitive (discrète certes) de $F$ entre $0$ et $n$.

OShine

Super technique ton raisonnement Alexique, impressionnant