Continuité
Bonsoir,
Je n'ai pas étudié les fonctions à plusieurs variables, juste la continuité dans un espace vectoriel normé.
Je ne vois pas comment justifier que $g$ est continue. Le corrigé dit que $g$ est continue sans l'expliquer.
La méthode conseillée était de vérifier d'abord qu'elle est lipschitzienne mais ici ça me semble compliqué.
Je n'ai pas étudié les fonctions à plusieurs variables, juste la continuité dans un espace vectoriel normé.
Je ne vois pas comment justifier que $g$ est continue. Le corrigé dit que $g$ est continue sans l'expliquer.
La méthode conseillée était de vérifier d'abord qu'elle est lipschitzienne mais ici ça me semble compliqué.
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Réponses
Raoul.S oui c'est vrai je n'y avais pas pensé.
On a $g(x,y)= \varphi \circ N_2(x,y)$
Or on sait que l'application $(x,y) \mapsto N_2(x,y)$ est continue sur $\R^2$ (cours sur les espaces vectoriels normés) et que l'application $r \mapsto \dfrac{e^{r^2}}{1+r^2}$ est continue sur $\R$ comme quotient de fonctions continues.
Pour la caractérisation séquentielle je ne suis pas sûr mais j'essaie.
Si $(x_n,y_n)$ une suite qui converge vers $(a,b)$. On doit montrer que $g(x_n,y_n)$ tend vers $g(a,b)$.
Ainsi $x_n \longrightarrow a $ et $y_n \longrightarrow b$. Et $x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow a^2+b^2$ puis par continuité de l'exponentielle $\exp( x_n ^2 + y_n ^2) \longrightarrow \exp(a^2 +b^2)$
Par ailleurs, $1+x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow 1+a^2 +b^2$
Donc le quotient, lorsque $n$ tend vers plus l'infini, tend vers $\dfrac{\exp(a^2 +b^2)}{1+a^2 +b^2} = g(a,b)$
Un peu compliqué pour montrer qu'il y a un minimum global qui par ailleurs est unique.
$g(x,y)=f(x^2+y^2) $ avec $f(r)=\exp(r)/(1+r), \ r\geq 0$ La fonction $f$ est strictement croissante $\R^+$ donc elle présente un minimum global unique en $r=0.$
Mais $(x^2+y^2)=0$ ssi $(x,y)=(0,0).$ Ce qui précède que $\inf _{\R^2}g(x,y) =1$ et que cet $\inf$ est atteint en l'unique point $(0,0)$.
De toute façon on demande seulement de démontrer qu'il y a un minimum global. Pourquoi tout ce travail puisqu'il suffit de remarquer que $g(x,y)\geq 1$ pour tout $(x,y)$. Donc $g$ est minorée et l'inf est atteint puisque $g$ est continue.
Donc on doit travailler sur un compact car le théorème des bornes atteintes a comme hypothèse d'être sur un compact.
L'inégalité $f(r)=e^r/(1+r)\geq 1$ avec $f(r)= 1$ ssi $r=0$ est de niveau terminale. On n'utilise même pas que g est continue dans ma seconde remarque
L'auteur fait compliqué pour utiliser les compacts. On aurait pu choisir un meilleur exercice en réfléchissant un peu.