Une relation avec les deux points de Fermat

Bouzar

Bonjour à tous
Je propose ce problème.

Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$

Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.

$$ Amicalement.

Rescassol

Bonjour,

Avec Morley circonscrit:

% Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat 

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms r real % r=sqrt(3)

%-----------------------------------------------------------------------

n1 = i*r*(- b^2*c + a*b^2 - b*c^2 + a*c^2) - (b - c)*(a*b + a*c - b*c + 2*a^2);
d1 = i*r*(a*b + a*c - 2*b*c) - 3*a*(b - c);

n1B = -i*r*(- bB^2*cB + aB*bB^2 - bB*cB^2 + aB*cB^2) - (bB - cB)*(aB*bB + aB*cB - bB*cB + 2*aB^2);
d1B = -i*r*(aB*bB + aB*cB - 2*bB*cB) - 3*aB*(bB - cB);

F(r)=n1/d1; FB(r)=n1B/d1B;

f1=F(r); f1B=FB(r); f2=F(-r); f2B=FB(-r); % Les deux points de Fermat

PuissF1=f1*f1B-1; % Puissance de F_1
PuissF2=f2*f2B-1; % Puissance de F_2
Dist2=(f2-f1)*(f2B-f1B); % Carré de la distance F_1 F_2

Nul=Factor(PuissF1+PuissF2+Dist2) % Doit être égal à 0

% On trouve pour le numérateur Num de Nul:

Num=2*(r^2-3)*(a-b)*(a-c)*(b-c)^2*(-(b+c)*(a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)*r^2 + 3*(b-c)^2*(a*b+a*c+2*b*c+2*a^2));

% r^2-3 est en facteur, donc c'est gagné, car r=sqrt(3)

Cordialement,

Rescassol

pldx1

Bonjour.

On a donc $OF_1 ^2 +OF_2^2+F_1 F_2 ^2=2R^2$. Une conséquence géométrique serait bienvenue.

Cordialement, Pierre.

Rescassol

Bonjour,

Une figure, quand même !!

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

juste pour dire qu'une preuve synthétique est possible...

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Bien sûr qu'une preuve synthétique est possible, comme d'ailleurs, je pense, pour tout résultat démontrable autrement dans le même cadre.
Il n'existe pas, à ma connaissance, de résultat géométrique, démontré par une méthode, pour lequel on ait démontré qu'il n'existe pas de preuve synthétique.
D'ailleurs, en l'occurrence, je peux affirmer sans grand risque qu'une preuve barycentrique est possible,

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme

Bonjour à tous,
j'ai toujours pensé qu'un solution synthétique est toujours possible jusqu'au jour de ce problème...

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol64.html

puis

Une conjecture résolue... (par une hyperbole sur l'idée de pappus)...

J'ai posé ce problème sur différents sites... (tour de la planète..)

Ma question est : y a-t-il une limite dans la recherche d'une preuve synthétique ?
ou bien manque-t-il un chaînon synthétique manquant ?

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

ma preuve...

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol70.html

puis

Une remarquable relation de Telv Cohl.

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Une preuve en coordonnées barycentriques:

% Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat 

clc, clear all, close all

syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2;
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

S2=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/16; % Carré de l'aire (S2=S^2)

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon

O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
R2 = a^2*b^2*c^2/(16*S2);

% Points de Fermat

syms u v w r S real % r=sqrt(3) et S=Aire(ABC)

F(u,v,w,r)=(u+2*r*S)*(v+w)+4*v*w; % Fonction pour la permutation circulaire

F1=[F(Sa,Sb,Sc,r); F(Sb,Sc,Sa,r); F(Sc,Sa,Sb,r)];    % Premier et second
F2=[F(Sa,Sb,Sc,-r); F(Sb,Sc,Sa,-r); F(Sc,Sa,Sb,-r)]; % point de Fermat

OF1=Distance2(O,F1,a,b,c);   % Carré de la distabce OF_1
OF2=Distance2(O,F2,a,b,c);   % Carré de la distance OF_2
F1F2=Distance2(F1,F2,a,b,c); % Carré de la distance F_1F_2

X=Factor(OF1+OF2+F1F2);

X=expand(X);
X=subs(X,r^4,9);
X=subs(X,r^2,3);
X=subs(X,S^2,S2);

Nul=Factor(X-2*R2) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol

Bouzar

Bonsoir et merci Rescassol pour tes contributions.

Amicalement