Bonjour
je me posais une question sur les conditions nécessaires et suffisantes pour que
$$
f(x) \geq g(x) \text{ sur }\ I\ \Longrightarrow\ f'(x) \geq g'(x) \text{ sur }\ I.
Un exemple (pas très passionnant) d'hypothèses qui donnent ton implication:
Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur un intervalle $[a,b]$ telles que l'ensemble $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ soit dense dans $[a,b]$.
Alors $\left ( f(x) \geqslant g(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)\quad\Longrightarrow\quad\left (f'(x) \geqslant g'(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)$
Edit : bon, mon exemple est totalement idiot car l'hypothèse $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ dense dans $[a,b]$ et $f, g$ continues entraîne que $f(x)=g(x)$ sur $[a,b]$.
Peut-être un truc du genre $f-g$ convexe permet d'avancer un peu. Mais de toutes façons, les propositions qui marcheront, ça restera des trivialités.
Exemple de trivialité :
Si $f$ et $g$ sont dérivables.
Si pour tout $x,\ f(x) \ge g(x) $ et si $f-g$ est croissante, alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réponses
La question que tu te poses, c'est :
Que faut-il ajouter à la place des ... pour que cette affirmation devienne vraie :
si pour tout x, $f(x) \ge g(x)$ et si .... alors pour tout $x f'(x) \ge g'(x)$.
Voici une proposition :
si pour tout $x, \ f(x) \ge g(x)$ et si pour tout $x,\ f(x) \le g(x)$ alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.
On peut en trouver plein d'autres. Mais elles seront toutes aussi triviales/stupides...
Par ailleurs, j'ai bien aimé votre réponse mais il doit quand même [y] avoir un peu mieux, peut-être en rajoutant des hypothèses de convexité.
Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur un intervalle $[a,b]$ telles que l'ensemble $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ soit dense dans $[a,b]$.
Alors $\left ( f(x) \geqslant g(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)\quad\Longrightarrow\quad\left (f'(x) \geqslant g'(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)$
Edit : bon, mon exemple est totalement idiot car l'hypothèse $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ dense dans $[a,b]$ et $f, g$ continues entraîne que $f(x)=g(x)$ sur $[a,b]$.
Exemple de trivialité :
Si $f$ et $g$ sont dérivables.
Si pour tout $x,\ f(x) \ge g(x) $ et si $f-g$ est croissante, alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.
Voici une condition nécessaire et suffisante : il existe une fonction $a : I \to \R_+$ telle que $h' = a h$.
Non, même pas c'était une ânerie .....