Le verre de Martini

Magnéthorax

Bonjour,
Un exercice que j'aime bien : déterminer l'ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}_+^*$ deux fois dérivables, strictement convexes, avec $f'$ qui ne s'annule pas, telles que, si on note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé, les triangles dont les sommets sont l'origine et les deux points d'intersection des tangentes à $\mathcal{C}$ avec les axes ont la même aire.

Chaurien

Pour être certain d'avoir bien compris, je reformule. On a une fonction $f:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}_+^*$ strictement convexe, deux fois dérivable, à dérivee non nulle. Soit $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $(Ox, Oy)$. Soit $M$ le point courant sur la courbe $\mathcal C$. La tangente en $M$ à $\mathcal C$ coupe l'axe $Ox$ et $P$ et l'axe $Oy$ en $Q$. On cherche les fonctions $f$ telles que l'aire du triangle $OPQ$ est constante lorsque $M$ décrit $\mathcal C$. C'est bien ça ?

Chaurien

Je pense que mon interprétation est la bonne. Ce qui fait tout marcher, c'est cette hypothèse inattendue de double dérivabilité, qui simplifie miraculeusement le problème et donne une équation différentielle linéaire du premier ordre toute simple. On trouve comme de bien entendu des hyperboles. D'accord avec Magnéthorax pour trouver que c'est un joli problème. Mais je ne vois pas de verre de Martini dans cette affaire.
Nous posions autrefois de tels problèmes d'équations différentielles issus de la géométrie, avec tangentes, normales, sous-tangentes, sous-normales constantes, ou caustiques, pour expliquer pourquoi les antennes ne peuvent être que paraboliques, et d'autres avec centres et rayons de courbure : c'était mieux avant ;-).
Bon appétit.
Fr. Ch.

Frédéric Bosio

Et cette aire est la moitié du produit des deux coordonnés non nulles. On obtient donc, à homothétie près, l'enveloppe des droites d'équation $t^2 x + y = t$.

Frédéric Bosio

Si je ne me trompe pas, on obtient juste $y = \frac{\lambda }{x}$, où $\lambda $ est quelconque dans ${\mathbb R }_+ ^* $.

Magnéthorax

Chaurien : oui, c'est bien ça. Le verre de Martini, c'est le quart de plan des points à coordonnées positives que l'on fait pivoter de 45 degrés. Le liquide versé dedans est de "volume" constant. La ligne de flottaison, c'est la tangente. "C'était mieux avant" : au temps de l'école buissonnière ;-) ?