Un simple problème

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABCD un quadrilatère convexe
2. P un point intérieur à ABCD
3. STUV le P-quadrilatère pédal.

Question : STUV est cyclique si, et seulement si, <APB + <CPD = 180°.

Conséquences?

Sincèrement
Jean-Louis

poulbot

Bonjour
Sans supposer la convexité et le fait que $P$ soit intérieur à $ABCD$, on a entre angles de droites, la relation (*)
$\left( PA,PB\right) +\left( PC,PD\right) =\left( VU,VS\right) -\left( TU,TS\right) $ où $S,T,U,V$sont les projections de $P$ sur les droites $AB,BC,CD,DA$.
En effet, $P,D,U,V$ et $P,A,S,V$ étant cocycliques, on a $\left( VU,VS\right) =\left( VU,VD\right) +\left( VA,VS\right) =\left( PU,PD\right) +\left( PA,PS\right) $
De même, $P,C,U,T$ et $P,B,T,S$ étant cocycliques, on a $\left( TU,TS\right) =\left( TU,TC\right) +\left( TB,TS\right) =\left( PU,PC\right) +\left( PB,PS\right) $
Par soustraction, on obtient (*) qui entraine le résultat de Jean-Louis.

En outre (un peu de géométrie de grand-papa) le lieu des points $P$ pour lesquels $\left( PA,PB\right) +\left( PC,PD\right) =0$ est (en général) la Cubique circulaire focale ("focale de van Rees") passant par les $6$ sommets du quadrilatère complet de côtés les droites $AB,BC,CD,DA$ et de foyer le point de Miquel de ce quadrilatère (point commun aux cercles $EAD,EBC,FAB,FCD$ où $E=AB\cap CD,F=BC\cap DA$).
Amicalement. Poulbot

pldx1

Bonjour,

On peut donc recycler la figure d'un fil voisin. Le quatrilatère est formé par $ABC$ et la transversale $D_aD_bD_c$. Lorsque le point mobile $D$ est sur la cubique, les quatre projections de $D$ ainsi que les quatre projections de son isogonal $D_x$ sont cocycliques. Et lorsque $D$ va voir plus loin si l'herbe est plus verte, les identités polynomiales se prolongent.

On remarque que le centre de ce cercle est situé sur la droite de Newton.

Cordialement, Pierre.