Bonjour,
On considère le modèle suivant: pour tout $t \in [0,T]$ :
$$\label{2}
I'=a u_0 V-\beta I,
\\
V'= b I_{\tau} - \sigma V,
$$ où
$$
I_{\tau}(t)= 0 \ \mbox{si} \ t \leq \tau, \quad I_{\tau}(t) =I(t-\tau)\ \mbox{si} \ t > \tau.
$$ avec les conditions initiales
$$
I(0)=0, \quad V(0)=v_0.
$$ Ce système s'écrit sous la forme matricielle
\begin{equation}
X'(t)= A(t) X(t) + b(t),
\end{equation} où
$$
X(t)
=
\begin{pmatrix}
I(t)\\V(t)
\end{pmatrix},\quad
A(t)
=
\begin{pmatrix}
&-\beta &au_0\\
&0 &-\sigma
\end{pmatrix},\quad
b(t)
=
\begin{pmatrix}
0\\
I(t-\tau)
\end{pmatrix}.
$$ Par la formule de Duhamel, la solution s'écrit
\begin{equation}
X(t)= e^{tA} X(0) + \displaystyle\int_0^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation} Sur $[0,\tau[$ : on a $I(t-\tau)=0$, donc $b(t)=0$ et la solution s'écrit
\begin{equation}
X(t)= e^{tA} X(0).
\end{equation} On a
$$
X(\tau)= e^{\tau} X(0).
$$ Sur $[\tau,2\tau[$ : on a
\begin{equation}
X(t)= e^{(t-\tau) A} X(\tau) + \displaystyle\int_{\tau}^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation} Je lis que $$I(u-\tau)= (e^{(u-\tau)A} X(0))_1
$$ Que veut dire cette écriture? Svp.
Merci d'avance pour votre aide.
Quelques typos : il manque un facteur $b$ dans le vecteur $b(t)$ ; il manque la matrice $A$ dans $e^{\tau A}.$
Quand tu écris $X(t)$ pour $\tau < t <2 \tau$, tu obtiens une expression pour $X(t-\tau)$ pour $0 < t-\tau < \tau$ dans laquelle, encore une fois, $b(u)$ est identiquement nul dans l'intégrande. Tu as donc $X(t - \tau) = e^{(t - \tau)A} X(0)$ pour $\tau < t <2 \tau.$
C'est un vecteur à une colonne. Son premier élément est $I(t - \tau)$ que tu notes $(X(t - \tau) )_1.$
YvesM Stp je bloque justement sur le dernier point.
Pourquoi son premier élément est $I(t-\tau)$? Normalement $I(t-\tau)$ est la deuxième composante de $b(t)$
Merci YvesM! J'ai enfin compris!
Moi je regardais que le vecteur $b(t)$ en essayant de faire le lien.
J'ai une question alors svp.
Est-ce que c'est possible de trouver la formule analytique de la solution $X(t)$ sur l'intervalle $[\tau,2\tau)$? Et puis sur $[2\tau,3\tau)$? Et puis généraliser pour tout $t$? Svp
Si ne crois pas. On calcule de proche en proche sur un intervalle de longueur $\tau.$ L'expression donne une intégrale double, puis triple et c'est inextricable (sauf cas simplifié).
Réponses
Calcule les puissances et trouve une récurrence facile. $A=(a,c)(0,b).$
sage: var('b a s') (b, a, s) sage: A = Matrix(2,2,[b,a,0,s]) sage: exp(A) [ e^b (a*e^b - a*e^s)/(b - s)] [ 0 e^s] sage: A0 = Matrix(2,2,[b,a,0,b]) sage: exp(A0) [ e^b a*e^b] [ 0 e^b]puis tu compares ta solution avec
le corrigé
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On considère le modèle suivant: pour tout $t \in [0,T]$ :
$$\label{2}
I'=a u_0 V-\beta I,
\\
V'= b I_{\tau} - \sigma V,
$$ où
$$
I_{\tau}(t)= 0 \ \mbox{si} \ t \leq \tau, \quad I_{\tau}(t) =I(t-\tau)\ \mbox{si} \ t > \tau.
$$ avec les conditions initiales
$$
I(0)=0, \quad V(0)=v_0.
$$ Ce système s'écrit sous la forme matricielle
\begin{equation}
X'(t)= A(t) X(t) + b(t),
\end{equation} où
$$
X(t)
=
\begin{pmatrix}
I(t)\\V(t)
\end{pmatrix},\quad
A(t)
=
\begin{pmatrix}
&-\beta &au_0\\
&0 &-\sigma
\end{pmatrix},\quad
b(t)
=
\begin{pmatrix}
0\\
I(t-\tau)
\end{pmatrix}.
$$ Par la formule de Duhamel, la solution s'écrit
\begin{equation}
X(t)= e^{tA} X(0) + \displaystyle\int_0^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation} Sur $[0,\tau[$ : on a $I(t-\tau)=0$, donc $b(t)=0$ et la solution s'écrit
\begin{equation}
X(t)= e^{tA} X(0).
\end{equation} On a
$$
X(\tau)= e^{\tau} X(0).
$$ Sur $[\tau,2\tau[$ : on a
\begin{equation}
X(t)= e^{(t-\tau) A} X(\tau) + \displaystyle\int_{\tau}^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation} Je lis que $$I(u-\tau)= (e^{(u-\tau)A} X(0))_1
$$ Que veut dire cette écriture? Svp.
Merci d'avance pour votre aide.
Quelques typos : il manque un facteur $b$ dans le vecteur $b(t)$ ; il manque la matrice $A$ dans $e^{\tau A}.$
Quand tu écris $X(t)$ pour $\tau < t <2 \tau$, tu obtiens une expression pour $X(t-\tau)$ pour $0 < t-\tau < \tau$ dans laquelle, encore une fois, $b(u)$ est identiquement nul dans l'intégrande. Tu as donc $X(t - \tau) = e^{(t - \tau)A} X(0)$ pour $\tau < t <2 \tau.$
C'est un vecteur à une colonne. Son premier élément est $I(t - \tau)$ que tu notes $(X(t - \tau) )_1.$
C'est aussi simple que ça.
Pourquoi son premier élément est $I(t-\tau)$? Normalement $I(t-\tau)$ est la deuxième composante de $b(t)$
Mon message précédent montre que $I(t-\tau) = (X(t-\tau))_1 = (e^{(t-\tau)A}X(0))_1$ pour $ \tau<t<2 \tau.$
Oublie donc ton $b$ un instant. La relation cherchée se fait sans lui.
Moi je regardais que le vecteur $b(t)$ en essayant de faire le lien.
J'ai une question alors svp.
Est-ce que c'est possible de trouver la formule analytique de la solution $X(t)$ sur l'intervalle $[\tau,2\tau)$? Et puis sur $[2\tau,3\tau)$? Et puis généraliser pour tout $t$? Svp
Si ne crois pas. On calcule de proche en proche sur un intervalle de longueur $\tau.$ L'expression donne une intégrale double, puis triple et c'est inextricable (sauf cas simplifié).