Intégration au sens de Lebesgue
Bonjour
Voici un exercice.
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^N$, et soit $f \in \mathcal{L}^1(\Omega)$. Montrer que $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \int_{\Omega} 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert dx = 0$.
$f$ étant intégrable, on a $\lvert f(x) \rvert < + \infty$ pour presque tout $x \in \Omega$, donc la suite de fonctions $(1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert)_{n \in \mathbb N}$ converge simplement vers la fonction nulle presque partout sur $\Omega$.
De plus, $0 \leq 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(x) \rvert$ pour (presque) tout $x \in \Omega$, avec $\lvert f \rvert$ intégrable.
Donc le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournit la conclusion.
À un "détail" près: comment montrer que chaque $1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert$ est intégrable ? La réponse est peut-être évidente, mais je viens très récemment de me lancer dans l'intégration au sens de Lebesgue, et je suis loin d'être au point.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée.
Voici un exercice.
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^N$, et soit $f \in \mathcal{L}^1(\Omega)$. Montrer que $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \int_{\Omega} 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert dx = 0$.
$f$ étant intégrable, on a $\lvert f(x) \rvert < + \infty$ pour presque tout $x \in \Omega$, donc la suite de fonctions $(1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert)_{n \in \mathbb N}$ converge simplement vers la fonction nulle presque partout sur $\Omega$.
De plus, $0 \leq 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(x) \rvert$ pour (presque) tout $x \in \Omega$, avec $\lvert f \rvert$ intégrable.
Donc le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournit la conclusion.
À un "détail" près: comment montrer que chaque $1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert$ est intégrable ? La réponse est peut-être évidente, mais je viens très récemment de me lancer dans l'intégration au sens de Lebesgue, et je suis loin d'être au point.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée.
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Réponses
J’ai une fonction qui est dominée par une fonction intégrable, mais cette première fonction n’est pas forcément très « régulière » (le terme n’est pas très adéquat), n’est-ce pas ?
Il faut éviter ce mot si le problème est la mesurabilité.
Ici, la mesurabilité se fait à la main, mais on peut aussi conclure en 3 secondes : $|f|$ est mesurable car intégrable par hypothèse, l'indicatrice porte sur un ensemble mesurable puisqu'encore une fois $|f|$ est mesurable, et un produit de deux mesurables l'est.
Finalement, Charlie12, tu as fait le plus dur !
Personnellement, je préfèrerais sur cet exemple me servir de la version décroissante de Beppo-Levi, ce qui est possible puisque $|f|$ est positive et intégrable. Ce n'est pas plus court, mais plus "économique", Beppo-Levi arrivant avant le théorème de convergence dominée.
En réalité, le document que j'utilise pour découvrir l'intégration au sens de Lebesgue fait un peu les choses "à l'envers": il définit d'abord l'intégrale de Lebesgue en définissant l'intégrale de fonctions appartenant à des ensembles de plus en plus grands, et introduit ensuite la notion de mesure de Lebesgue et de fonctions mesurables, de telle sorte que l'exercice ci-dessus n'est (en théorie du moins) pas censé faire appel à la mesurabilité.
Mais qu'importe, je vous remercie encore pour vos réponses,
Bonne journée.
- Les fonctions continues à support compact dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R ^N$
- Les fonctions $f$ qui sont limites simples sur un ouvert $\Omega$ d'une suite croissante $(f_n)$ de fonctions continues à support compact dans $\Omega$ vérifiant $\displaystyle \sup \int_{\Omega} f_n(x) dx < + \infty$
- Les fonctions $f$ s'écrivant $f = u - v$ presque partout sur $\Omega$ où $u$ et $v$ sont des fonctions appartenant à la catégorie précédente, et où on dit d'un ensemble $Z \subset \Omega$ qu'il est négligeable s'il existe $f$ telle que décrite dans le point ci-dessus telle que $f(x) = + \infty$ pour tout $x \in Z$. Ces fonctions constituent les fonctions intégrables, on note $\mathcal L^1(\Omega)$ leur ensemble.
Plus tard, le cours parle bien de fonctions mesurables (définies comme les limites simples de fonctions continues à support compact), d'ensembles mesurables, etc., mais l'exercice qui m'intéressait était censé être posé avant cela.
(Pour information, le document que je mentionne est le cours de première année de l'École Polytechnique)