Structure de l'ens des séries divergentes

PetiteTaupe · October 2021

L'ensemble des séries convergentes est un espace-vectoriel, donc il est stable par combinaison linéaires.

On en déduit que si $X = (a_1, \dots, a_n)$ est une famille de $n$ suites quelconques dont les séries associées convergent, $$A = \sum a_1 + \sum a_2 + \dots + \sum a_n = \sum_{i=1}^n \sum a_i$$ est convergente.
Donc on en déduit aussi que si $(a_{n+1})$ est une suite quelconque et que $\sum a_{n+1}$ diverge, $$B = A + \sum a_{n+1}$$ diverge.
Question : si on prend deux suites $a_{n+1}$ et $a_{n+2}$, $$C = B +\sum a_{n+2}$$ diverge-t-elle ? Autrement dit, une somme de séries divergentes est-elle divergente ?

Pour moi c'est faux, car on prend $(u_n)$ et $(-u_n)$ où $\sum u_n$ diverge. Alors $-\sum u_n = \sum -u_n$ diverge car on ne change pas la nature d'une série en multipliant ses termes par $(-1)$, et pourtant $\sum u_n + \sum -u_n = \sum 0$ qui converge.

Donc, l'ensemble des séries convergentes est un espace vectoriel mais pas celui des séries divergentes.

Est-ce qu'on peut aussi le prouver en considérant que l'ensemble des séries est un espace vectoriel, et que comme une série est soit divergente, soit convergente, si l'ensemble des séries divergentes était un espace vectoriel, l'ensemble des séries convergentes et l'ensemble des séries divergentes seraient supplémentaires ? De là, Il doit y avoir un moyen d'arriver à la contradiction suivante : l'intersection est vide et non pas réduite au singleton $0$ avec la caractérisation des sous-espaces supplémentaires, en montrant que ces deux espaces sont forcément supplémentaires si on suppose que l'ensemble des séries divergentes est un espace vectoriel.