Droite de Simson perpendiculaire
Bonsoir,
Voici un problème pris à Jean-Louis Ayme.
Soit $ABC$ un triangle, $O, H$ son centre du cercle circonscrit et son orthocentre, $P$ un point et $P^{*}$ son conjugué isogonal par rapport à $ABC$, $N, U$ les milieux de $[OH], [PP^{*}]$, $Mi$ le point de Miquel du quadrilatère $OPHP^{*}$.
1. Démontrer que $Mi$ est sur le cercle circonscrit à ABC.
2. Démontrer que la droite de Simson de $Mi$ par rapport à $ABC$ est perpendiculaire à $NU.$
Amicalement
Voici un problème pris à Jean-Louis Ayme.
Soit $ABC$ un triangle, $O, H$ son centre du cercle circonscrit et son orthocentre, $P$ un point et $P^{*}$ son conjugué isogonal par rapport à $ABC$, $N, U$ les milieux de $[OH], [PP^{*}]$, $Mi$ le point de Miquel du quadrilatère $OPHP^{*}$.
1. Démontrer que $Mi$ est sur le cercle circonscrit à ABC.
2. Démontrer que la droite de Simson de $Mi$ par rapport à $ABC$ est perpendiculaire à $NU.$
Amicalement
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Réponses
Avec Morley circonscrit: Cordialement,
Rescassol
Soient $P,Q$ deux points et $P^{*},Q^{\text{*}}$leurs isogonaux wrt le triangle $ABC$. Parmi les six droites déterminées par ces quatre points, on décide que $PP^{*}$ et $QQ^{*}$ sont des diagonales, les quatres autres étant des latères de plein exercice. On introduit les points $D=PQ\cap P^{*}Q^{*}$ (cis) et $E=PQ^{*}\cap P^{*}Q$ (trans). On voit au deuxième coup d'oeil que $E=D^*$. Et on lance la grande machine quadrilatérale $ \def\quat{\mathcal{Q}} \quat$ \[ \begin{array}{c|ccc|ccc} & & \Delta & & & \Gamma\\ \hline 1 & D & Q & P & D^* & Q^{*} & P^{*}\\ 2 & D^* & Q & P^{*} & D & Q^{*} & P\\ 3 & D & Q^{*} & P^{*} & D^* & Q & P\\ 4 & D^* & Q^{*} & P & D & Q & P^{*} \end{array} \]
On récupère la droite de Newton $\left(U,V,m\left(DD^*\right)\right)$, les cercles circonscrits $\Gamma_{j}$, leurs centres $O_{j}$, le cercle de Miquel, le point de Miquel $M_{i}$ sur le cercle de Miquel, les orthocentres $H_{j}$ et leur droite de Steiner. Par propriété générale, la $\quat$-droite de Newton et la $\quat$-droite de Steiner sont orthogonales.
Il reste à vérifier que $M_{i}$ est sur le $ABC$-circonscrit et que sa $ABC$-droite de Steiner est parallèle à la $\quat$-droite de Steiner. On remarque que la donnée de $UV$ fixe la droite $HA_{n}B_{n}C_{n}$ et donc le point $M_{i}$.
On en profite pour tracer la "cubique des 15 points". Et l'on se pose un problème de rétro-enginerie: étant donné un quadrilatère $PQP'Q'$, déterminer le triangle $ABC$... s'il en est un.
Cordialement, Pierre.
Edit: le deuxième coup d'oeil est arrivé !
Merci à Rescassol et à Pierre pour vos contributions.
Amicalement
Je pense que tout ceci reste vrai quand on remplace la paire $(O,H)$ par une paire de points isogonaux $(Q,Q^*)\ $ absolument quelconque!
Amicalement
[small]p[/small]appus
c'est exact...je ne ma suis pas encore penché sur ce problème désirant en finir avec la déroutante relation de Goormaghtigh...
As-tu une idée pour une preuve à l'ancienne?
Sincèrement
Jean-Louis
En fait je dors à moitié car je n'avais pas lu la magistrale contribution de Pierre qui prouve tout cela!
Je retourne à ma sieste!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai le sentiment que nous avions déjà parlé de cette configuration, il y a quelques mois ou quelques années, reste à retrouver le fil en question!
Pour la rétro-ingénierie. On part du triangle $ABC$ et de la transversale $D_{a}D_{b}D_{c}$ et l'on fait tourner la machine quadrilatérale. On trace les quatre cercles circonscrits, donnant le point de Miquel $M_{i}$. On place les points $
\def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\nonk{n\mathcal{K}} \def\umbx{\Omega_{x}} \def\umby{\Omega_{y}}
\left(A+D_{a}\right)/2\etc$ donnant la droite de Newton $\Delta$.
On construit les points $U_{A}=\left(A\Delta\right)\cap\left(M_{i}D_{a}\right)\etc$. Et on trace la cubique \[ \nonk\left(A,B,C,D_{a},D_{b},D_{c},U_{A},U_{B},U_{C}\right) \] qui a la bonne idée de passer par $M_i$, $\Delta_\infty$, les deux ombilics, et les points $U'_{A}$.
On choisit trois points $Q_{a},Q_{b},Q_{c}$ sur la cubique, mais en imposant que le cercle $Q_{a}Q_{b}Q_{c}$ passe par $M_{i}$. Alors les 5 paires $\left(\umbx,\umby\right)$, $\left(M_{i},\Delta_{\infty}\right)$, $\left(A,D_{a}\right)\etc$ sont isogonales par rapport au triangle $Q_{a}Q_{b}Q_{c}$.
Cordialement, Pierre.