Pinaillage sur la périodicité

sol

Ci-dessous, un extrait de manuel vénérable (Cagnac, Ramis, Commeau). Vous conviendrez je pense que, contrairement à ce que dit la remarque, rien ne garantit sans hypothèse supplémentaire que $-\mathrm P$ soit une période.

Dans un cours de 1re année postbac, faut-il définir la périodicité de cette manière ou bien supposer en outreb $\mathscr C$ stable par $x \mapsto x + \mathrm P$ et par $x \mapsto x - \mathrm P$ ?

C'est ce que fait ce cours (page 7).

Edit : $f$ est une application de $\mathscr C$ dans $\R$, où $\mathscr C$ est un sous-ensemble de $\R$.

Dom

Disons que ce qui compte c’est de rester dans le domaine de $f$.
Pour se dégager (entre autre) de tous ces embêtements, on exige que le domaine soit stable, en effet.

L’équivalent pour la parité, est d’exiger que le domaine soit symétrique par rapport a $0$.

Chalk

Moi j'ai rien contre s'en prendre à toutes les mouches d'une pièce, mais quitte à pinailler, alors pinaillons vraiment. Dans ta définition jointe rien n'est dit sur ce qu'est $\mathcal C$, en particulier rien ne dit que c'est un sous-ensemble du domaine de $f$ ...

sol

Dom, ce n'est pas tout à fait pareil à ce qui se passe pour la parité car $x \mapsto x + \mathrm P$ n'est pas involutive, à la différence de $x \mapsto -x$.

Tu as raison Chalk, mais la notation était introduite précédemment : $\mathscr C$ est un sous-ensemble de $\R$ qui est le domaine de définition (champ dans la terminologie des auteurs) de l'application $f$.

sol

Pour préciser ma question, j'observe qu'il y a une différence entre :

• les fonctions dont le graphe est stable par $(x,y) \mapsto (x+\mathrm P,y)$
• celles dont le graphe est stable par $(x,y) \mapsto (x+\mathrm P,y)$ et par $(x,y) \mapsto (x-\mathrm P, y)$

Je considère que les vraies fonctions périodiques sont les deuxièmes. Tandis que la première condition ne définirait que des fonctions semi-périodiques.

Est-ce que ceci correspond bien à l'usage de tout le monde ?

Chalk

Dans ce cas je te rejoins, la définition pourrait être légèrement améliorée, surtout pour un cours première année post bac.

Dreamer

Bonsoir.

Sans trop pinailler, serait-il possible d'avoir un exemple de fonction semi-périodique qui ne soit pas périodique ?

Merci d'avance et à bientôt.

JLapin

$f:[0,+\infty[\to \R$ définie par $f(x)=\sin(x)$ par exemple ?

Dreamer

D'accord, c'est effectivement du pinaillage.

À bientôt.