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Application linéaire non bornée

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriels normé. On définit $f$ un endomorphisme de $E$.

Je ne comprends pas le passage suivant :

Si $u$ n'est pas borné sur $B_f (0,1)$, il existe $(x_n)$ à valeurs dans $B_f (0,1)$ tel que $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$
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Réponses

  • Commence par faire des exercices de lycée. C'est une évidence.
  • Pour une suite réelle , tu dois savoir exprimer avec les quantificateurs le fait qu'elle soit non bornée , essaies de le traduire de manière séquentielle ( en terme de suites) ici c'est le même principe.
  • Tu as répondu à cette question ici

    réponse
  • La suite $(u_n)$ est bornée si et seulement si $\exists M>0 \ \ \forall n \in \N \ ||u_n || \leq M$

    La suite $(u_n)$ n'est pas bornée si et seulement si $\boxed{\forall M>0 \ \ \exists n \in \N \ ||u_n || > M}$

    Mais je ne vois pas comment en déduire le passage en rouge.

    L'endomorphisme $u$ n'est pas borné sur la boule unité centrée en O si $\boxed{\forall M>0 \ \ \exists x \in B_f(0,1) \ ||u (x) || > M}$

    C'est ici que je ne vois pas comment finir pour obtenir le résultat énoncé.
  • Qu'est-ce qu'il suffit de considérer "pour $M$" afin de montrer ce que tu veux ?
  • Tout de même! u n'est pas bornée sur $B(0,1)$. Cela veut dire qu'on peut trouver une suite $(x_n)$
    de $B(0,1)$ telle que $||u(x_n)||$ tend vers l'infini.
  • Si pour M quelconque donc M aussi grand que tu veux , tu peux trouver n tel que un soit plus grand que M alors tu peux extraire de ta suite une sous-suite qui tend vers +infini .. à méditer et rédiger .
  • Bd2017 tu ne le justifies pas.

    20100N je n'ai pas compris le rapport avec les sous-suites.

    Je prends $M=n \in \N^{*}$ et on obtient $\forall n \in \N^{*} \ \exists x_n \in B_f(0,1) \ \ ||u(x_n)|| >n$

    Par passage à la limite et par comparaison on trouve $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$

    Est-ce correct ?
  • On se demande qui est borné finalement (:P)
  • @Os Ta question commence par on définit f un endomorphisme....

    Ensuite je vois $B_f(0,1).$ Ta boule dépend de $f$?

    En fait que vient faire f dans l'histoire?
  • $B_f$ signifie boule fermée... Aucun rapport avec l'endomorphisme $f$.

    D'ailleurs je me suis trompé c'est $u$ l'endomorphisme.
  • C'est vraiment la traduction entre le langage mathématique et le langage usuel qui te bloque le plus !

    Si on traduit "symbole par symbole" la phrase logique que tu as écrite pour dire que $u$ n'est pas bornée sur la boule unité fermée, on obtient :
    Pour chaque valeur du réel $M$, on peut trouver un vecteur $x$ dans la boule unité fermée tel que la norme du vecteur $u(x)$ est plus grande que $M$.

    Puisque c'est vrai "pour chaque valeur de $M$", quelles valeurs pourrais-tu choisir pour trouver plusieurs vecteurs $x$ (toute une suite, en fait), dont la norme "exploserait" ?
  • Bisam, $M=n$ avec $n \in \N^{*}$.

    Le $x$ dépend alors de $n$ et on le note $x_n$. On construit ainsi une suite $(x_n)$ qui vérifie $\forall n \in \N \ x_n \geq n$

    Par comparaison, cette suite diverge vers $+\infty$.
  • $x_n$ est dans un e.v.n alors que veut dire $x_n\geq n.$ Rien!
  • Oui bien vu c'est une suite $(x_n)$ d'éléments de $B(0,1)$ tel que $\forall n \in \N \ ||x_n|| \geq n$

    Et on passe à la limite sur la norme de $||x_n||$ pour $n$ qui tend vers plus l'infini.
  • Ce n'est pas la traduction de l'hypothèse, et ce n'est pas non plus ce qu'on veut obtenir !!
    Relis-toi !
  • Comme $u$ n'est pas borné sur la sphère unité, on a $\forall M>0 \ \exists x \in B(0,1) \ \ ||u(x)|| > M$.

    On prends $M=n \in \N^{*}$ et on obtient $\forall n \in \N^{*} \ \exists x_n \in B_f(0,1) \ \ ||u(x_n)|| >n$

    Par passage à la limite et par comparaison on trouve $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$

    Je ne vois pas où est l'erreur dans ce raisonnement :-S
  • $u$ c’est $f$ et $M$ c’est $n$ X:-(
  • Si tu es sur ce sujet OShine, et pour fixer un peu tes idées, peux-tu exhiber un tel endomorphisme $u$ ?
  • C'est peut-être un peu vache comme question ça. Mais on va voir.
  • Je n'ai pas réussi avec $\R^n$ ... Je n'ai pas réussi non plus avec $E=\R$.
  • C'est normal, lorsque $E$ est un e.v.n. de dimension finie toute application linéaire sur $E$ est [à compléter].
    Il faut chercher un exemple en dimension infinie, par exemple : [à compléter].
  • C'est pour ça que j'ai dit que c'était vache.
  • Oui évidemment c'est un peu vache mais c'est intéressant ou fondamental au choix , puis je me questionne toujours sur cette ouverture compulsive de nombreux fils au bout desquels OShine ne va que très superficiellement. Mais je sais que le sujet est hautement d'actualité et peut être que je ferais mieux de me questionner quand à ma compulsion à répondre aux messages d'OShine.

    Bref exhiber un endomorphisme non borné c'est un exercice intéressant, quitté à chercher des informations dans les livres ou ailleurs
  • En-dehors de l'idée de voir en dimension infinie pas besoin non plus d'aller voir dans les livres (d'autant que selon OShine il n'y a qu'un livre).
  • Une question sous jacente c'est est ce qu'OShine est capable d'exhiber un espace vectoriel normé de dimension infinie ?
  • Il en connaissait un une fois (j'avais vérifié) mais vu sa mémoire, je n'affirme rien.
  • Sans regarder sur internet $\K[X] $ est un espace vectoriel normé de dimension infinie.
  • Oui, c'est sûrement écrit dans ton livre, pas besoin de chercher sur internet :-D
  • Pour quelle norme ?
  • Et si tu en as une, y a-t-il une norme pour laquelle il est de définition finie ?

    Pour les autres : je sais.
  • Sinon l'espace des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$ est un espace vectoriel de dimension infinie.

    On peut prendre $||f||_{\infty}= \sup_{ t \in [a,b]} |f(t)|$

    Pour l'espace des polynômes on a $||P||_{\infty}= \max ( |a_i|)$ où $P(X)= \sum a_i X^i$

    Mais j'ai du mal à voir comment trouver un endomorphisme non borné sur la sphère unité :-S
  • Est-ce que tu arriverais à démontrer qu'il existe un endomorphisme tel que $f(X^k) = \exp(2021 k^2)X^k$ ?
  • Si $f(X^k)= \exp( 2021 k^2) X^k$ alors pour $P=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ on a :

    $f(P)= $ je n'arrive pas à calculer $f(P)$ je trouve cette application étrange :-S
  • C'est délirant de ne toujours pas comprendre le principe d'une application linéaire quand on est certifié de maths.
  • OShine, t’es sérieux?

    J’allais dire à noobey qu’il abuse un petit peu, mais c’est carrément fou!!
  • Bonjour,

    Tu lui apprends à creuser un trou avec une pelle bleue.
    Tu lui donnes ensuite une pelle rouge et tu lui demandes de creuser un autre trou.
    Il ne sait pas, parce qu'il n'a pas compris ce qu'est une pelle.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Comme $f$ est linéaire, $f(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \exp(2021 k^2) X^k$

    Donc $f(P)=Q$ où $Q=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \exp(2021 k^2) X^k$

    $f$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et après ?
  • Qui t'a demandé de travailler dans $\R_n[X]$ ?
  • Regarde $f$ comme un endomorphisme de $\R[X]$. Est-ce que $f$ est borné ?
    Cordialement
  • Je peux travailler dans $\R[X]$.

    Je prends la norme $N_{\infty} (P)=\max |a_i|$

    Si $P$ appartient à la boule unité alors $ |a_i| \leq 1$

    Mais $N_{\infty} (f(P))=\max |a_i \exp(2021 i^2)|$

    Le problème est que je dois trouver une suite, telle que $||f(x_n)|| \longrightarrow + \infty$ mais dans les polynômes je ne vois pas trop.
  • $x_n=...$
    Prend la lettre x, la lettre n et fabrique un anagramme de $x_n$.
  • On a tout fait là OShine il est temps que tu y mettes du tien
  • Souligner le mot borné dans l'assertion: "Pour tout trou et pour toute couleur de pelle, il existe une martingale qui produira des miracles, mais la convergence en temps borné n'est pas assurée".
  • OShine

    Le titre du fil me fait penser à la question suivante :
    Sais-tu montrer qu'un endomorphisme non nul quelconque d'un evn E est non borné ?
  • On prend $P=X^n$

    Alors $N_{\infty} (P)=1 \leq 1$ alors que $N_{\infty} (f(P) )= \exp(2021 n^2) \longrightarrow + \infty$ ce qui termine le raisonnement.

    JLapin je n'ai pas trop compris ta question.
  • Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
  • Moi c'est la remarque de Rescassol ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2321832,2322392#msg-2322392 qui me fait faire le lien entre OShine et les IA.

    Actuellement les intelligences artificielles n'ont pas encore la grande capacité d'adaptation que possède le cerveau humain et une IA pourrait tomber dans le piège de l'expérience de Rescassol.

    Par conséquent je me pose la question : OShine, es-tu une IA ?

    J'avoue être tenté de répondre par l'affirmative, d'autant que des fois OShine tu dis : "je ne comprends pas c'est du chinois pour moi" et justement il se trouve qu'il existe une expérience de pensée nommée "La chambre chinoise" ( cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Chambre_chinoise ) imaginée par le philosophe John Searle qui vise à montrer qu'on peut répondre correctement à une question en chinois sans rien y comprendre, comme une IA quoi...
  • Je ne sais pas faire ton exercice JLapin, j'ai compris l'énoncé mais je n'ai pas d'idée.
  • H.S. pour la question de JLapin mais essentiel tout de même :

    Ne connais-tu aucun exemple d'application linéaire non continue ?!

    (je pensais que JLapin utilisait borné comme "bounded operator")
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