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Lieu déduit d'une cubique

Bonjour,

Je trouve l'exercice suivant (X 1880) très instructif.
Déterminer le lieu des milieux des cordes de la courbe $y = x^3 - x$ qui sont parallèles à la droite $y = x$.

A+

Réponses

  • Lorsque les intersections ne sont pas visibles, leur milieu est visible. On attend donc que le candidat soulève cette question.
  • Bonjour,

    Qu'est ce qu'une corde quand la droite coupe la courbe en trois points ? Ou un seul point ? Les cas où il y en a deux sont assez rares.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Il y a une façon d'interpréter le sujet pour en faire une question mal posée. Il y a une façon d'interpréter le sujet pour en faire une question bien posée. Par ailleurs, l'objectif du concours est de sélectionner des personnes capables de faire ce qu'il faut dans la situation où ils se trouvent.
  • RE

    La première chose à faire, c'est de déterminer à quelle condition une parallèle à $y = x$ coupe la courbe en $2$ ou $3$ points ; autrement, il n'y a pas de corde.
    Quand il y a $3$ intersections $A, B, C$, on considère les milieux de $AB$, de $BC$ et de $AC$.

    A+
  • C'est exactement la bonne méthode pour ... transformer une question bien posée en un truc indémerdable. Avant de se lancer dans les calculs, il vaut peut être mieux se demander quel est l'objet variable principal, et faire en sorte de plonger le problème dans son corps de rupture.
  • RE

    Les calculs ne sont pas compliqués.. Ma solution fait dix lignes.

    A+
  • A moins que j'aie mal compris l'énoncé, j'ai du mal à concevoir comment le résultat puisse être particulièrement simple.128280
  • RE

    Pour $q$ compris dans certaines limites (lesquelles ?) la droite $y = x+q$ coupe la cubique en deux ou trois points, les abscisses des milieux des cordes étant données (à peu de chose près) par les racines de l'équation $x^3 - x = x + q$.
    Les ordonnées des milieux sont très faciles à calculer.
    Il suffit enfin d'éliminer $q$ pour obtenir le lieu.

    A+
  • Ta formulation est trompeuse, je trouve. Qu'est-ce que ça veut dire, que les abscisses des milieux des cordes sont "données à peu de choses près par les racines de $x^3-x=x+q$" ?

    1) Trouver l'intervalle des valeurs de $q$ pour lesquelles il y a plusieurs intersections : d'accord.

    2) A $q$ fixé, on résout donc l'équation $x^3 - x = x +q$. On obtient les abscisses des points d'intersection, et comme on est sur la droite $y=x+q$, on peut calculer les ordonnées. Ensuite, les coordonnées du milieu d'un segment, ça se calcule.

    Mais comment veux-tu "éliminer $q$" ? Qu'est-ce que tu appelles "éliminer $q$" ? Nous n'avons peut-être pas le même français.
  • Bonjour

    le lieu des milieux des cordes est une cubique qui passe par l'origine
    et dont la courbe représentative ressemble au graphe dessiné en noir par Homo Tapi

    le calcul n'est pas monstrueux : soient les deux points M1 et M2 situés sur la cubique initiale et de coordonnées respectives x1; y1 et x2; y2

    et soit I de coordonnées x et y le milieu de chaque corde ; on a donc : x = (x1 + x2)/2 et donc $4x^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1x2$

    $y = (y1 + y2)/2 = [(x2^3 - x2) + (x1^3 - x1)]/2 = [x2 + x1][x2^2 - x2x1 + x1^2 - 1]/2 = x[4x^2 - 3x1x2 - 1]$

    d'autre part la corde est parallèle à la 1ère bissectrice soit : $\frac{y2 - y1}{x2 - x1} = 1$ soit encore $x2^2 + x2x1 + x1^2 - 1 = 1$

    et donc $x2^2 + x1^2 = 2 - x1x2$ que nous reportons dans l'expression de 4x² soit : 4x² = 2 - x1x2 + 2x1x2 = 2 + x1x2

    que nous injectons dans y : $y = x[4x^2 - 3(4x^2 - 2)-1] = x(-8x^2 + 5)$ fonction impaire et cubique dont le point d'inflexion est l'origine

    $$y = x(5 - 8x^2)$$

    Cordialement
  • J'ai littéralement construit les milieux avec les outils de GeoGebra puis activé leur trace.
  • Bonjour.

    J'ai fais construire par géogébra le lieu des trois points intersection et voici ce que je trouve, les raccords me semblent plus justes.

    Cordialement.128294
    lieu.jpg 114.9K

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Bonjour,

    L'objectif est de mesurer l'élévation de vue des différents candidats, afin de pouvoir les classer.
    Et donc prendre la sécante comme objet variable principal, conduisant à "on résout l'équation $x^3 - x = x +q$" est exactement ce qu'il ne faut pas faire. On se place dans le corps de rupture de l'équation "cubique=sécante" avec l'intention explicite de ne manipuler que des quantités algébriques.

    Par conséquent, les objets variables principaux sont un point $P\simeq x:x^3-x:1$ et un point $Q\simeq t:t^3-t:1$. Le milieu est $M\doteq X:Y:1 \simeq (x+t): (x^3+y^3)-(x+t):2$. Comme "prendre le milieu" est un opérateur symétrique, on introduit les "fonctions symétriques": Cela donne $$S\doteq x+t\;;\;P\doteq x\,t \;;\; 2X-S=0 \;;\; 2Y-S^3+3\,P\,S+S=0 $$
    Ensuite de quoi, on considère la condition de liaison, symétrique elle aussi. On a: $$

    P\wedge Q \simeq -t^{3}+x^{3}+t-x : -x+t : x\left(t^{3}-t\right)-t\left(x^{3}-x\right) \simeq -t^{2}-t\,x-x^{2}+1:1:\left(x+t\right)t\,x$$ La possibilité $x=t$ s'élimine d'elle même et l'égalité des pentes donne la condition cherchée: $$ t^{2}+t\,x+x^{2}-2 = S^2-P-2=0$$ On en déduit $S,P$ puis le lieu cherché: $$Y=-8\,X^3+5\,X$$
    On prend un exemple pour taper sur tous les clous qui dépassent. Pour $x=1+i$, on obtient $y(x)=-3+i$ et $t=1-i, y(t)=-3-i$ (par conjugaison, les oraux se déroulent en temps limité). D'où $M(1;-3)$ qui vérifie la propriété annoncée. On a donc une triple réponse.
    (1) Les milieux, visibles ou non, des cordes ont pour lieu l'ensemble $\left\{M(x,y)|y=-8\,x^3+5\,x,x\in\C\right\}$
    (2) Les milieux visibles, des cordes visibles ou non, ont pour lieu $\left\{M(x,y)|y=-8\,x^3+5\,x,x\in\R\right\}$
    (3) les milieux des cordes visibles se placent entre les deux tangentes communes, et le lieu s'arrête aux intersections avec la cubique initiale, i.e. aux points:$$
    \left(-\sqrt{6}/3;\sqrt{6}/9\right) \;\;,\;\;\left(\sqrt{6}/3;-\sqrt{6}/9\right) $$

    Cordialement, Pierre.
  • RE

    Ma solution
    La droite $y = x + q$ coupe la courbe en deux ou trois points ssi l'équation $x^3 - x = x + q$ ou $x^3 - 2x - q = 0$ a toutes ses racines réelles, donc ssi le discriminant $4.(-2)^3 + 27.(-q)^2 = 27q^2 - 32$ est négatif ou nul.
    Si $q = \pm 4 \sqrt6/9$, la droite $y = x + q$ touche la courbe en un point (racine double) et la coupe en un autre (racine simple) ; la racine double annule $(x^3 - 2x - q)' = 3x^2 - 2$ et est donc égale à $\mp \sqrt6/3$.
    Si $27q^2 - 32 < 0$, la droite $y = x + q$ coupe la courbe en trois points ; si $27q^2 - 32 > 0$, la droite coupe la courbe en un seul point et il n'y a pas de corde.
    Si $27q^2 - 32 \le 0$, notons $u, v, w$ les racines (distinctes ou non) de $x^3 - 2x - q = 0$ ; le milieu d'une corde a pour abscisse, par exemple, $(u+v)/2 = -w/2$ et pour ordonnée $-w/2 + q = -w/2 + w^3 - 2w = -8.(-w/2)^3 + 5.(-w/2)$.
    Par conséquent, le lieu est la portion $[-\sqrt6/3; +\sqrt6/3]$ de la courbe d'équation $y = -8x^3 + 5x$.

    A+
  • Dreamer : peux-tu détailler comment tu as obtenu ton dessin ? Le mien est visiblement faux...

    Ce que moi j'ai fait : j'ai construit la cubique, j'ai construit $y=x$, puis j'ai placé un point libre sur la cubique et construit la parallèle passant par ce point. Ensuite j'ai construit les intersections, les milieux, activé la trace des milieux, et fait bouger le point libre.
  • J'ai pris les milieux des segments respectivement en dessous et au dessus de la cubique, comme ceux dont tu as fait la trace, ainsi que le segment qui part des extrémités non communes de ces segments, c'est le milieu qui est représenté entre les deux autres sur mon dessin.

    À bientôt.

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  • Ah oui, j'ai oublié de tracer ça.
  • RE

    Preuve plus rapide
    Les abscisses des extrémités des cordes vérifient l'équation $x^3 - 2x - q = 0$.
    Les abscisses des milieux des cordes vérifient l'équation transformée $(-2x)^3 - 2.(-2x) - q = 0$, car la somme de deux racines égale l'opposé de la troisième.
    Cela donne $-8x^3 + 4x - q = 0$ ou $-8x^3 + 5x - (x + q) = 0$.
    Le lieu des milieux a donc pour équation $y = -8x^3 + 5x$.

    A+
  • Tu utilises les relations coefficients-racines du coup, j'aime bien.
  • RE

    Ma première preuve les utilisait déjà.

    A+
  • Oui, je n'ai pas tout lu :-D
  • RE

    Ma seconde preuve emploie la transformation d'équation, technique (absente des programmes actuels de CPGE) qui facilite la résolution de certaines équations algébriques.
    Autre exercice du même tonneau, pour lequel je n'ai pas encore de solution :
    lieu des milieux des cordes que les parallèles à $y = 2x$ découpent sur la quartique $y = x^4$.

    A+
  • Bonjour,

    voyons voir ce que cela donne avec $x^3+y^3-6xy=0$ et les sécantes de pente $p$.

    Cordialement, Pierre.
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