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Diagonalisation d’une matrice

Bonjour,
Je dois résoudre un exercice où on me donne une matrice carrée A de taille 3, et je dois trouver toutes les matrices M carrées de taille 3 telles que AM = MA.
Il y a une indication comme quoi il faut commencer par diagonaliser A.

J’ai fait l’exercice hier, j’ai diagonalisé A puis j’ai posé M =a,b,c],[d,e,f],[g,h,i. J’ai calculé AM et MA et j’obtiens 9 égalités et j’ai enfin conclu sur la matrice M.

Cependant je viens de me poser la question suivante en revoyant ce que j’ai écrit : pourquoi j’ai diagonalisé pour ensuite résoudre AM = MA, alors que j’aurais pu directement faire AM = MA avec la matrice A qu’on m’a donné initialement… ?
Si quelqu’un a la réponse je suis très curieux de savoir.
Merci beaucoup !

Réponses

  • Le système à résoudre est plus simple après diagonalisation qu'avant, non ?
  • Non même pas justement. Je trouve même que ma matrice diagonalisée est plus dure que celle de base car elle contient des fractions comme 33/32 ce qui n’est pas très sympa à manipuler…


    PS 1 : un autre exercice est aussi de calculer les matrices telles que B^2 = A et l’indication est de diagonaliser A, je n’y vois toujours pas l’intérêt…
  • Poste l'énoncé
  • Exercices 25 et 26.128208
  • Pose $P$ la matrice de passage qui va bien et donne la réponse sans expliciter $P$ et $P^{-1}$.
  • Je trouve ça pour P.128210
  • En écrivant $A=PDP^{-1}$ et $N=P^{-1}MP$, on a $MA=AM\Leftrightarrow ND=DN$. Résoudre cette dernière équation est très simple donc il peut être utile de diagonaliser $A$.
    Il est vrai que dans l'exemple de l'exercice 25, il y a franchement peu à gagner !
  • ok, maintenant, tu peux répondre à la question posée avec le changement d'inconnue $N=P^{-1}MP$.
  • Merci des indications !
    Cependant je ne trouve pas cela « très simple » (résoudre ND = DN) car j’ai du calculer P^-1 (qui, a moins d’une erreur de ma part) n’est pas du tout simple à manipuler, puis ensuite j’ai du calculer N qui vaut P^1 MP, puis enfin conclure…Est ce que c’était la bonne méthode ?
  • C'était la méthode suggérée.
    Il me semble également recevable de donner la réponse en utilisant les matrices $P$ et $P^{-1}$ sans chercher à tout expliciter.
  • Bonjour

    pour l'exercice 25 il n'est pas nécessaire de diagonaliser, on procède par identification A.M = M.A

    avec $M = \begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1&1&1\\0&4&1\\0&0&36\end{pmatrix}$

    tu sais déjà que g, h, et d seront nuls puisque les matrices produit A.M ou M.A sont forcément triangulaires supérieures
    ce que confirme le calcul d'identification
    sachant que les éléments diagonaux de A (valeurs propres) sont distincts


    tu obtiens 3 équations affines avec 6 inconnues ; tu es obligé de paramétrer :
    tu choisiras les éléments diagonaux a, e et i de M comme paramètres

    tu obtiens après résolution du système de 3 équations affines :

    b = (-a + e)/3

    f = (-e + i)/3

    c = - 2a/105 - e/96 + 33i/1120

    tu as triple infinité de solutions en M matrice 3x3 triangulaire supérieure:

    $M =a\begin{pmatrix}1&-1/3&-2/105\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} + e\begin{pmatrix}0&1/3&-1/96\\0&1&-1/32\\0&0&0\end{pmatrix} + i\begin{pmatrix}0&0&33/1120\\0&0&1/32\\0&0&1\end{pmatrix}$

    Cordialement
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