Une série infinie impliquant la fonction phi
Bonjour !
Inspiré par ce document, j’ai formulé la revendication suivante.
$$\displaystyle\sum_{n=1 \atop n \text{ impair }}^{\infty}\left({3 \over n}\right)\varphi(n) \frac{x^n\left(1-x^{4n}\right)}{1+x^{6n}}=\frac{x\left(1-5x^4-5x^6+x^{10}\right)}{\left(1+x^6\right)^2} ,\quad \text{pour} \quad |x|<1,$$
où $\left(\frac{\,\cdot\,}{\cdot}\right)$ indique le symbole de Jacobi et $\varphi(n)$ indique la fonction phi d'Euler.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Quelqu’un peut-il prouver cette proposition ?
Inspiré par ce document, j’ai formulé la revendication suivante.
$$\displaystyle\sum_{n=1 \atop n \text{ impair }}^{\infty}\left({3 \over n}\right)\varphi(n) \frac{x^n\left(1-x^{4n}\right)}{1+x^{6n}}=\frac{x\left(1-5x^4-5x^6+x^{10}\right)}{\left(1+x^6\right)^2} ,\quad \text{pour} \quad |x|<1,$$
où $\left(\frac{\,\cdot\,}{\cdot}\right)$ indique le symbole de Jacobi et $\varphi(n)$ indique la fonction phi d'Euler.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Quelqu’un peut-il prouver cette proposition ?
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Réponses
Cela provient du fait que
$\left(\dfrac 3n\right)= \left\{\begin{array}{cl} 1& \text{si}\: n \equiv \pm 1 \mod 12 \\ -1& \text{si}\: n \equiv \pm 5 \mod 12\\ 0& \text{sinon}\end{array}\right.\quad $ et que donc:$\quad Q(x) := \displaystyle \sum_{n\:\text{impair}} \left(\dfrac 3n\right) x^n =\sum_{n=0}^{+\infty} x^{12n}(x-x^5-x^7+x^{11}) = \dfrac {x(1-x^4)}{1+x^6}$
Un calcul absolument similaire à celui mené dans ton document avec $ \left( \dfrac {-1}n \right)$, conduit alors à:
$$\displaystyle P(x):= \sum_{{n\:\text{impair}} } \left(\dfrac 3n\right)n x^n= \sum_{{n\:\text{impair}} } \left(\dfrac 3n\right)\varphi(n) \dfrac{x^n(1-x^{4n})}{1+x^{6n}}$$
La relation $P(x) =xQ'(x)$ est alors exactement l'identité annoncée.