Fonction de répartition

BolzanoW

Bonjour
Dans un exercice, je dois montrer que pour tout $x \in [0;1]$, la fonction $\displaystyle F(x) = (a+b+1)! \sum_{k=a+1}^{a+b+1} \frac{x^k (1-x)^{a+b+1-k}}{k! (a+b+1-k)!}$ est la fonction de répartition de $X$ ayant pour loi $f(x) = \dfrac{(a+b+1)!}{a!b!}x^a(1-x)^b$.

Du coup, j'essaye de dériver $F$ ou de transformer l'écriture de la somme, mais rien n'y fait, je bloque ... des pistes ?
Merci d'avance

BolzanoW

Autre essai ...

marsup

Bonjour,

Je pose : $\qquad u_{i,j}(x) = \binom{i+j}{i} \cdot x^i \cdot (1-x)^j$

Ainsi : $
\begin{aligned}[t]
%u_{i,j}(x) & = x \cdot
%\frac{i+j}{i} \cdot
%u_{i-1,j}(x)
%& \leadsto
\frac{i}{x} & =
\frac{i+j}{u_{i,j}(x)} \cdot u_{i-1,j}(x)\\
%u_{i,j}(x) & = (1-x) \cdot
%\frac{i+j}{j} \cdot
%u_{i,j-1}(x)
%& \qquad \leadsto
\frac{j}{1-x} & =
\frac{i+j}{u_{i,j}(x)} \cdot u_{i,j-1}(x)\\
\end{aligned}
$

Je dérive logarithmiquement $u_{i,j}(x)$.
Il vient : $\quad
\begin{aligned}[t]
\frac{u_{i,j}'(x)}{u_{i,j}(x)} & = \frac{i}{x} - \frac{j}{1-x} \\
& =
\frac{i+j}{u_{i,j}(x)}
\cdot \big[
u_{i-1,j}(x) -
u_{i,j-1}(x)
\big]
& \leadsto u_{i,j}'(x) =
(i+j)
\cdot \big[
u_{i-1,j}(x) -
u_{i,j-1}(x)
\big]
\\
\end{aligned}
$

Donc télescopiquement, on trouve bien :
$$
\frac{d}{dx}
\sum_{k=i+1}^{n+1}
u_{k,n+1-k}(x) =
(n+1) \cdot u_{i,n-i}(x).$$

P.

(tu)

BolzanoW

Merci beaucoup ! J'ai compris !

Mais je n'aurais jamais eu l'idée tout seul !

Bonne journée.