Dérivation sur un ouvert

tylnx

Bonjour à tous,

J'ai remarqué que lorsqu'on parle de dérivée d'une fonction $f : E \longrightarrow F$ , on se place sur un ouvert $U$ de $E$.
Je ne comprends pas pourquoi on ne parle pas de la notion de dérivée sur un fermé. Je veux comprendre.

Merci d'avance pour vos réponses.

JLapin

Attention à ne pas confondre dérivée et différentielle.
Sinon, essaye déjà de bien comprendre la définition qu'on te donne (qui devrait faire intervenir le fait que $U$ est un ouvert) et les exemples associés.

Math Coss

Sur le bord d'un intervalle, il est simple de définir la dérivée à gauche et la dérivée à droite. Dans un fermé, on voudrait pouvoir faire tendre vers le point où l'on différencie dans toutes les direction. Même pour une situation simple comme l'origine dans $(\R^+)^2$, ce n'est pas possible.

Pour être plus explicite, donnons-nous une application $f$ et un point $x_0$ ; pour différencier $f$ on veut définir une application linéaire $\phi$ qui approxime $f(x_0+th)$ pour $h$ vecteur quelconque et $t$ réel « assez petit ». Si on espère que $\phi$ soit linéaire, il est nécessaire qu'elle soit au moins définie pour tout $h$ ; cela force à supposer que $f$ est définie sur un ouvert autour de $x_0$.

tylnx

Merci. Mais c'est pas assez clair pour moi vraiment. Je devrais peut-être bien relire mon cours.

Math Coss

Supposons que $f$ est définie sur $(\R^+)^2$. Pour $t$ assez petit et $h\in\R^2$, on veut que \[f(x_0+th)=f(x_0)+t\phi(h)+o(t)\] et cette égalité doit définir $\phi(h)$. Pour $t>0$ aussi petit qu'il veut et $h$ comme sur le dessin, on a bien du mal à définir $f(x_0+th)$, ce qui rend délicate la définition de $\phi(h)$.