Série de puissances
Bonjour.
Je préviens, je ne suis pas un mathématicien.
Sachant qu'il existe le symbole $\sum$ qui permet de sommer a l'infini et de connaître le domaine de convergence selon si c'est une suite géométrique ou autre.
Le symbole $\prod$ pour les produits.
S'il n’existe pas pour les puissances appelons $P$ le symbole d'une série de puissances infinie.
Un exemple : $$P^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2}={{{{\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}}^{\frac{1}{2}}}^.}^.}^.=0,641185...
$$ On peut voir que ça converge.
J'imagine que pour une valeur supérieur à 1 ça diverge.
En dessous de 0 c'est bizarre par exemple pour $P^{\infty}_{k=1}-\frac{1}{2}$ la puissance ne tend pas vers une valeur particulière la valeur tourne en boucle.
Pouvez-vous me trouver une page Wikipedia ou un truc qui parle de ça.
Cordialement.
Autre exemple: $$P^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k}=0,6582...$$
Je préviens, je ne suis pas un mathématicien.
Sachant qu'il existe le symbole $\sum$ qui permet de sommer a l'infini et de connaître le domaine de convergence selon si c'est une suite géométrique ou autre.
Le symbole $\prod$ pour les produits.
S'il n’existe pas pour les puissances appelons $P$ le symbole d'une série de puissances infinie.
Un exemple : $$P^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2}={{{{\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}}^{\frac{1}{2}}}^.}^.}^.=0,641185...
$$ On peut voir que ça converge.
J'imagine que pour une valeur supérieur à 1 ça diverge.
En dessous de 0 c'est bizarre par exemple pour $P^{\infty}_{k=1}-\frac{1}{2}$ la puissance ne tend pas vers une valeur particulière la valeur tourne en boucle.
Pouvez-vous me trouver une page Wikipedia ou un truc qui parle de ça.
Cordialement.
Autre exemple: $$P^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k}=0,6582...$$
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Réponses
Ici 2016. Ça pointe sur des discussions de 2007.
Mais en 2020 il me semble qu’on avait un fil pertinent.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1295309
Remarque : il ne s’agit pas de « série » puisqu’on ne somme pas.
$a^{b^c}$ signifie $a^{(b^c)}$.
On peut argumenter que si l’on voulait étudier $(a^b)^c$ il suffirait de regarder $a^{bc}$ (formule bien connue du collège).
Édit : je n’ai pas retrouvé ce fil où Poirot, que je salue au passage, avait proposé une petite étude de convergence.
C’était « pour quelles valeurs de $x$, $x^{{.^{.^{.}}}^x}$ converge ? »
Ps: que fais cette question dans shtam? Ce n'est pas tout à fait délirant...
Une généralisation du problème de départ est même la composée d’une fonction avec elle-même $f\circ\cdots\circ f$, en dehors des questions de convergence.