Sous-groupe de $\mathfrak S_4$
Réponses
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Tu dessines un carré dont tu numérotes 1,2,3 et 4 les sommets.
H est le sous-groupe engendré par les deux symétries axiales d'axes les droites qui relient les milieux des côtés opposés. -
Parce que c’est le groupe dérivé de $\mathfrak A_4$. (:D
(Désolé, je n’ai pas pu m’en empêcher).
Plus sérieusement, il suffit de faire un produit non trivial et d’indiquer que les autres se font de manière analogue. -
Micro remarque : il se peut que le dessin proposé par JLapin ait un léger rapport avec la théorie des représentations.
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J'ai fait le dessin JLapin et je crois comprendre ce que tu veux dire merci. Merci aussi pour ta réponse MrJ.
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L'étape suivante pourrait consister à comprendre pourquoi ce groupe est distingué. Une raison, c'est que c'est la réunion de deux classes de conjugaison (l'identité et les doubles transpositions).
Une autre façon de le comprendre, plus amusante, c'est de constater que si on réalise $\mathfrak{S}_4$ comme le groupe des isométries qui préservent un cube, ce sous-groupe est le noyau du morphisme de l'action dudit groupe sur les trois paires de faces (qui est donc un morphisme $\mathfrak{S}_4\to\mathfrak{S}_3$, et qui se trouve être surjectif). -
Et que pensez-vous des (du) 2-Sylow de ${\cal A }_4 $ ?
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