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Dérivée faible

Soit $u$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que : $u\left( x\right) =1, $ pour $x\in\, ]{-}1, 1[$ et 0 ailleurs.

On a donc pour tout $\phi$ une fonction à support compact sur $ ]{-}1, 1[$
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = \int^{1}_{-1} \phi^{'} = \phi(1) - \phi(-1)$
J'ai trouvé dans une correction une notation que je ne comprends pas :
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = (\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} )\left( \phi \right) $ ce qui implique que $(\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} ) = Du.\ $ Ainsi $Du \notin L^{1}$
Je ne comprends pas la dernière ligne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer un peu ? ($Du$ est la dérivée faible supposée.)
Le but était de montrer que $u \notin W^{1, 1}$ [avec] les mêmes notations que le livre de Brezis.

Réponses

  • Bonjour,

    Essaie une intégration par partie de $\int u \phi’$. Si tu sais que la dérivée de la fonction marche est une delta de Dirac au point de discontinuité…
  • Bonjour
    Tu as obtenu $Du =\delta_1-\delta_{-1}$ (mais pas $Du =(\delta_1-\delta_{-1})(\phi)$)

    $\delta_1-\delta_{-1}$ n'est pas une fonction au sens classique donc n'est pas dans $L^1(\R)$

    Tu peux aussi dire que si $Du$ était dans $L^1$ alors $Du=0$.

    En effet, $Du=0 $ sur $]-\infty,-1[\,\cup\, ]-1,1[\, \cup\, ]1,\infty[,$ i.e $\ Du=0\ p.p.$

    Mais on vient de voir que $Du =\delta_1-\delta_{-1} \neq 0$.
  • Bonjour,
    oui j'avais effectivement écrit une erreur sur Du. Je comprends bien les explications.
    Cependant je ne comprends pas cette égalité :
    $\int^{1}_{-1} u\phi^{,} =(\delta_{1} -\delta_{-1} \left)( \phi \right) $
  • Bonjour
    Je n'ai pas fait attention mais il y a une erreur dans ce qui est dit.
    En fait il faut faire le calcul pour tout $\phi $ à support compact dans $\R.$

    Alors $<u',\phi>=-<u, \phi'>=-\int_\R u(x) \phi'(x) dx =-\int_{-1}^1 \phi'(x) dx =-(\phi (1)-\phi(-1))=-<\delta_1-\delta_{-1}, \phi>.$

    P.S Et de plus il y a une erreur de calcul : on a $Du=\delta_{-1}- \delta_1$
  • @bd2017
    Oui merci.
    C'est la toute dernière égalité que je ne comprends pas :

    $\phi(1)-\phi(-1) = <\delta_1-\delta_{-1}, \phi >$
  • C'est une définition : Dirac en $x=a$ notée $\delta_a$ est par définition
    $$<\delta_a,\phi>\,=\phi(a),\qquad \forall \phi \in D(\R).

    $$ Par ailleurs si tu dessines le graphe de $u$, tu vois que la dérivée vaut $0$ partout sauf en $x=-1$ et en $x=1.$
    En $x=-1$, $u$ fait un saut d'une unité et en $ x=1$ un saut de moins une unité.
    C'est-à-dire que sur le graphe on arrive à lire que $Du$ vaut $\delta_{-1}- \delta_1.$
  • D'accord j'y suis maintenant. Merci.
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