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Propriété méconnue des nombres premiers

Bonjour,

Le carré d'un nombre premier supérieur à $3$ diminué de $1$ donne un multiple de $24$ :
$5^2 - 1 = 24, 7^2 - 1 = 48, 11^2 - 1 = 120, ...$

A+

Réponses

  • C'est une propriété des nombres impairs non multiples de $3$.
  • Bonjour,

    Un nombre premier plus grand que $3$ doit être égal, modulo $4$, à $1$ ou à $3$ puisque les autres possibilités $0$ et $2$ sont exclues car multiples de $2.$

    Cas $p=4 k+1$ :
    $p^2-1=(p-1)(p+1)=4 k (4 k+2)=8 k(2k+1)$
    Si $k=3 u$, on a la divisibilité par $24,$
    Si $k=3 u+1$, et donc $2k+1=3(2u+1)$…
    Le cas $k=3u+2$ est exclus. En effet, $p=4(3 u+2)+1=12 u+9=3(4 u+3)$ n’est pas premier.

    Cas $p=4 k+3$ :
    $p^2-1=(4k+3)^2-1=(4k+2)(4 k+4)=8 (k+1) (2 k+1).$
    Si $k=3 u$, $p=4(3 u)+3=3(4 u+1)$ n’est pas premier.
    Si $k=3 u+1$, $2 k+1=3(2 u+1)$ est divisible par $3$.
    Si $k=3 u+2$, $k+1=3(u+1)$ est divisible par $3.$

    Comme on a traité tous les cas, on conclut pour tous les premiers strictement plus grand que $3.$
  • C’est un exercice que je donne souvent en colle.
  • RE

    Ma solution personnelle
    Les nombres considérés sont de la forme $6k \pm 1$.
    $(6k \pm 1)^2 - 1 = 12k(3k \pm 1)$
    $12k(3k \pm 1)$ est un multiple de $24$ pour tout $k$ pair ou impair.

    A+
  • Salut,
    Soit x=n2+1
    3 divise x pour tout n non multiple de 3
    4 divise x pour tout n non multiple de 2

    Cordialement
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