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Définition du barycentre (convexité)

Bonsoir, je vais peut-être poser une question qui vous paraîtra bête mais je préfère la poser pour m'éviter des problèmes de contre-sens.
En fait on fait un peu de convexité en ce moment en cours et au début on définit le barycentre qui est une notion sur laquelle repose en fait tout le reste du cours même si ce n'est pas dit explicitement partout.
Donc ma question est la suivante.

"Comment cela se fait-il que le barycentre soit défini tel qu'il est ?"

Ça peut paraître bizarre mais pour 2 éléments je vois ce qu'il se passe (je pense). Si l'on prend une balance avec 2 poids respectivement posés sur chacun des plateaux dont l'un est de poids 1 et l'autre de poids 2 alors il faut trouver un point d'équilibre sur la balance, un point en lequel si l'on place une barre verticale sur notre segment reliant nos 2 plateaux, tout reste stable. Il faut donc faire en sorte que notre poids de 1 soit en fait de 2. Pour cela, on coupe le segment en trois de sorte à se placer à 2/3 du poids 1 lui donnant 2 fois plus d'importance permettant de compenser le poids de 2. Et on remarque que dans les situations de poids a et b quelconques, on peut se ramener à une situation avec poids 1 et a/b.
Sauf qu'ici je pense que c'est faux mais c'est ce qui me vient directement à l'esprit. Et de ce fait je me vois mal avec une balance à n plateaux pour commencer et surtout, comme je me fais une idée maladroite de ce qu'est le barycentre pour 2 points je ne peux pas vraiment généraliser.

Je suis conscient que je vous demande de m'expliquer une définition donc je me doute que certains puissent me dire que je n'ai qu'à me forcer à l'admettre mais je ne peux pas travailler avec quelque chose qui va à l'encontre de ce qui me vient directement à l'esprit.
Je remercie donc à l'avance toute personne qui saura m'expliquer tout ça avec son point de vue !

Réponses

  • Découpe une plaque triangulaire dans un matériau assez léger.
    Alourdi fortement les sommets du triangle avec des masses différentes (mais beaucoup plus lourdes que le poids de la plaque).
    Si tu veux tenir le tout en équilibre sur une tige verticale, tu devras poser ta structure sur le barycentre des trois sommets pondérés par les masses.
  • Une approche par la physique paraît un peu plus naturelle (demande donc à un prof de physique ce qu'il en pense !)

    Si tu lis ici, tu peux voir qu'ils relient la formule "discrète" du barycentre de $n$ points massiques aux coordonnées du centre de masse d'un objet homogène avec des intégrales. Si tu disposes de la masse volumique de l'objet homogène, les expressions sont naturelles, et la gymnastique mentale "une somme et une intégrale, c'est la même chose mais discret/continu" fait le reste.
  • Bonjour J.

    Le barycentre est apparu naturellement en sciences (principe du levier, centre de masse, centre de gravité/d'inertie, ...) ; Archimède en fit même un usage démonstratif pour les mathématiques. Il est devenu un outil très efficace avec les vecteurs, qui rendent les preuves plus anciennes bien trop compliquées.
    Il existe plusieurs définitions du barycentre d'un système de points pondérés, définitions que la relation de Chasles rend évidemment équivalentes.

    Cordialement.
  • Revenons sur ta balance.
    Tu as 2 plateaux qu'on va assimiler à 2 points. Et donc 2 masses sur ces 2 plateaux.Tu as pris un cas particulier (M1=1, M2=2), et tu as constaté que le barycentre était quelque part entre les 2 plateaux (un tiers / deux tiers).

    Le barycentre n'est pas à l'extérieur du segment, mais sur le segment qui relie les 2 points.

    Si tu prends un triangle comme suggéré par JLapin, pareil, le point d'équilibre, le point où il faut fixer la ficelle pour suspendre tout ça et avoir un triangle qui reste horizontal, il est quelque part à l'intérieur du triangle.

    Comme tu parles de convexité... c'est tout ce qui nous intéresse. Le barycentre de n points (avec tous des masses positives ou nulles) est quelque part à l'intérieur du polyèdre défini par ces n points.

    Si les masses peuvent être négatives, ça ne marche plus.
  • D'ailleurs pour en rajouter une couche, l'enveloppe convexe de $n$ points de $\R^m$ (le plus petite convexe qui contient les $n$ points) est exactement l'ensemble des barycentres possibles que l'on obtient lorsque l'on fait varier les masses des $n$ points.

    Par exemple pour deux points du plan on obtient un segment, et pour trois points non alignés, un triangle.
  • ...avec des coefficients positifs.
  • Ce qui permet aussi de parler de coordonnées barycentriques (les masses qu'il faut mettre, en fixant leur somme à $1$), pour mettre le barycentre de nos points initiaux exactement où on l'a choisi. Ceci marche si les points initiaux sont affinement indépendants (si on considère l'enveloppe convexe, les masses sont positives, si on considère tout l'espace affine engendré, elles sont de signe quelconque).
  • Bonjour,

    Parler de barycentres, c'est une façon de péter plus haut qu'on a le cul. Il ne s'agit jamais que du centre de gravité d'un ensemble de points massifs. La question n'est pas de causer grec, mais de comprendre le fonctionnement d'une brouette. Par exemple, pourquoi place-t-on la charge au plus près de la roue ? Pourquoi vaut-il mieux que le centre de gravité du bateau soit en dessous du centre de gravité de l'eau déplacée ?

    Autres exemples: on a pris les moyennes de deux échantillons. Comment calculer la moyenne globale? Encore plus difficile: on a calculé les moyennes et variances de deux échantillons. Comment calculer la moyenne et la variance globale ?

    Cordialement, Pierre.

    P.S. Une expérience de pensée. On suppose que l'on a investi dans une brouette qui se déplace à une fraction notable de la vitesse de la lumière. Que va-t-il arriver au centre de gravité ?
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