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Difféomorphisme

Salut à tous
Soit $r,R$ deux réels strictement positifs on note $ D(x,r)=\{y \in\mathbb{R}^{n}:\|y-x\|\leq r\}$
Je souhaite montrer que $ D(x,r)$ et $D(x,R)$ sont $C^{k}$ difféomorphes $\forall k .$
Quitte à permuter $r,R$ on peut supposer que $r\leq R$,
soit $f:D(x,r)\to D(x,R)$ telle que $f(y)=y+D(x,R-r)$
cette application m'avait l'air de convenir. Avez-vous une indication à me suggérer ?

Réponses

  • Bonsoir,
    Tu as défini une application multivoque de $D(x,r)$ dans $D(x,R)$, où si tu préfères une application de $D(x,r)$ dans $\mathscr{P}(D(x,R))$, car $f(y)$ n'est pas un $n$-uplet de nombres réels mais une partie de $D(x,R)$ !
  • @Philippe j'avais songé à prendre $u \in D(0,1)$ et définir
    $f_{u}:D(x,r)\to D(x,R)$ telle $f_{u}(y)=y+x+(R-r)u$
  • Bonsoir,

    Tu devrais faire un dessin afin de voir ce qui ne va pas dans ton application.

    Plus simplement, tu peux montrer en utilisant une translation et une dilatation que tes deux ensembles sont difféomorphes à la boule de centre 0 et de rayon 1.
  • Pourquoi pas une simple homothétie de centre $x$ ?
  • Merci $ f:D(x,r)\to D(x,R)$ telle que $f(y)=x+\alpha r(y-x)$ avec $\alpha= \frac{R}{r^2}$.
  • Bonsoir à tous j'ai besoin d'une indication pour montrer que
    $S^{1}$ et $ [0,1]$ ne sont pas $C^{k}$ difféomorphes $\forall k$
  • Ils ne sont même pas homéomorphes. Une manière simple de le voir est que $S^1$ privé d'un point est toujours connexe, alors que $[0, 1]$ privé d'un point autre que $0$ ou $1$ ne l'est pas.
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