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La limite et la norme

Salut.

Soit $H$ un Hilbert.
$\limsup\limits_{\mid\lambda\mid\to\infty}\|\ \left(i\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty \implies
\|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ $ ou $\ \|\left(i\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}\ $ ?
$C$ est une constante.

Réponses

  • La prémisse étant fausse, les deux implications sont vraies.
  • J'ai corrigé l'hypothèse, c'est la réciproque de la fonction $\lambda I-A$.
  • Tel qu'écrit, la prémisse est toujours vraie et ne contient aucune information, il manque des $u$ dans les normes, sans quantification précise sur $u$ l'arrivée est toujours vraie car "$a\leq b$ ou $a\geq b$" est toujours vraie, bref on ne peut pas répondre autre chose que l'assertion est vraie.

    Le problème de ton "ou" est que tu mélanges du français et des mathématiques, moi je lis ce qui est écrit, c'est-à-dire $P \Rightarrow (Q \ {\rm ou}\ R)$, alors que tu demandes probablement si $P \Rightarrow Q$ ou $P \Rightarrow R$ est vraie

    En plus, il faudrait également une quantification sur $\lambda$ qui n'apparaît que réellement à droite (c'est une lettre muette à gauche).

    Maintenant, avec une forte imagination corrective, j'ai du mal à entrevoir comment on pourrait imaginer le second cas.
  • En fait, je voulais demander quelle est l'implication qui est vraie
    $\limsup\limits_{\lambda\to\infty}\|\ \left(\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty \implies \forall u \in H,\
    \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H},\ \lambda >0$
    ou
    $\limsup\limits_{\lambda\to\infty}\|\ \left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty\implies \forall u \in H ,\ \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}$
    $ \lambda >0$
  • C'est dingue, tu n'as toujours pas compris les objections qu'on te fait. Ta prémisse est toujours vraie, donc il te suffit de déterminer laquelle (s'il y en a bien une) des deux formules $$\forall u \in H

    \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ \lambda >0$$ et $$\forall u \in H \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}$$ est vraie.

    Maintenant on a un autre problème, c'est que c'est affreusement quantifié en $\lambda$ donc ça ne veut essentiellement rien dire en l'état.
  • L'expresssion est avec $i$ : $\ \limsup\limits_{\mid\lambda\mid\to\infty}\|\ \left(i\lambda I-A\right)^{-1}\|_{\mathcal{l}(H)}\leq \infty$.
    Je n'ai pas écrit $i$ avant.
    L'expression en haut n'est pas toujours vérifiée.
  • Ça ne change absolument rien. Tu n'as pas l'air de te rendre compte que la $\limsup$ d'une famille non vide de réels positifs est toujours inférieure ou égale à $+\infty$.
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