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Liste exercices classiques prépa

Bonsoir à tous
En classe préparatoires, il est coutume de dire que les "meilleurs" cours proposent non seulement les définitions et théorèmes clairement énoncés avec des démonstrations propres, mais également les exercices/résultats classiques qu'il faut connaître car souvent posés (ou juste utiles) aux écrits/oraux... seulement, après avoir consultés pas mal de cours donnés en classes préparatoires, je m'aperçois que la liste de ces "exercices classiques" peut (beaucoup) varier d'un enseignant à un autre.
Je me demandais donc : existe-t-il une liste exhaustive "relativement fiable" (dans le sens "exhaustive") d'exercices classiques à connaître en classes préparatoires pour les concours (du plus simple au plus exigeants) ?

Si une telle liste n'a pas été "officiellement" établie quelque part sur internet, ce post semble-t-il doute a vocation à proposer/établir ou débattre d'une telle liste, au moins pour les énoncés. Si vous avez la "flemme" de rédiger les démonstrations, peut-être que j'essayerai d'en rédiger quelques unes (très certainement pas toutes dans la mesure où la liste risque d'être longue)... mais pourvu qu'il existe au moins un endroit sur le net où une telle liste aura été établie et/ou débattue.

En outre, je publie ce post dans le forum "algèbre", mais rien n'exclut des résultats classiques d'analyse (si je dois faire un post similaire dans le sous-forum "analyse", merci de me le faire savoir, auquel cas je ferai un tel post).
Je vous remercie d'avance pour vos réponses !
Adrien

Réponses

  • Il y a déjà un programme national hyper contraignant avec les démos exigibles ou non, ce qui en soit est déjà un peu une anomalie dans une formation du supérieur.
    Heureusement (je pense) qu'il n'existe pas en plus une telle liste d'exos !
  • @JLapin merci pour votre réponse !
    Je ne pense bien sûr pas qu'il existe une liste "totalement" explicite d'exercices ! Je pense en revanche qu'on peut proposer une liste (pas forcément exhaustive) d'exercices/de résultats (ne figurant pas dans le programme officiel) parmi lesquels on peut choisir une liste d'exercices à demander aux élèves de connaître par cœur.

    Je donne deux exemples (en algèbre) qui ne sont pas explicitement au programme et qu'il vaut pourtant mieux connaître lorsque l'on passe lese concours:
    1) La réunion de deux espaces vectoriels $F$ et $G$ est un espace vectoriel que si $F \subset G$ ou $G \subset F$.
    2) Un endomorphisme de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

    Bien évidemment, ce post a potentiellement vocation à ouvrir un débat (et donc potentiellement à "avoir beaucoup de réponses") et je ne demande évidemment pas à ceux qui voudraient y répondre de poster une liste exhaustive de tous les exos qu'ils auraient en tête, mais au moins d'en poster quelques uns pour alimenter le fil ; le but étant qu'il existe un endroit sur le net où cette question ait été débattue, et où chacun puisse se référer pour y piocher/compléter sa liste de résultats classiques à connaître pour les concours.

    Encore une fois, je vous remercie d'avance pour vos réponses, et si une/des partie(s) de mon message n'étai(en)t pas clair(e)s, faîtes-le moi savoir et je détaillerai !
    Bien à vous,
    Adrien

    Ps : je propose d'établir/de débattre ici sur un liste concernant le programme "le plus général", c'est-à-dire le programme de MP, les parties concernant les programmes de PC, PSI, etc... pouvant être extraites de cette liste/de ce débat conformément à leur programme respectif.
  • Bonjour,

    Étudier la convergence de la suite définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \sin(u_n)$, et en donner un équivalent.
    Ce n'est pas un résultat "à connaître" mais je trouve que la résolution de cet exercice fait appel à une méthode difficilement trouvable seul en situation de concours.
  • D'une façon générale, les points du programme ayant été supprimés sont toujours bons à connaître car ils sont souvent (hélas..) source d'inspiration pour les concepteurs de sujets.

    quelques exemples non exhaustifs mais emblématiques: en analyse:

    - suites de Cauchy et complétude de $\mathbb{R}^d$ et quelques applications telles que théorème point fixe de Picard
    - propriété de Borel Lebesgue (équivalence avec Bolzano-Weierstrass dans les evn de dimension finie)


    en algèbre:
    - Normes subordonnées
    -Endomorphismes positifs et caractérisations
    -formule du rayon spectral.

    Ca ne prend pas beaucoup de temps à réviser et ces notions pourront servir aux écrits, par exemple le sujet des mines MP2 de l'an passé est assez révélateur. Attention toutefois de redémontrer charque point hors programme avant de l'utiliser.
  • En algèbre générale pour les normaliens (et en fait pas forcément, les Mines ont déjà fait le coup), être au point sur le concept d'élément algébrique dans un corps. Surtout, savoir démontrer que si P est annulateur de x algébrique, l'ensemble K[X]/P (les restes des polynômes sur K modulo P) est un corps. Si tout se passe bien jusqu'à la justification de la stabilité par produit le raisonnement facile et rapide pour avoir l'existence de l'inverse repose sur une petite astuce (fixer v dans cet ensemble et considérer l'application qui à u associe uv) qui peut faire bloquer longtemps inutilement.

    Tant que la notation a été introduire, être au point sur la notion d'ensemble quotient, ie avoir du recul dessus. Peut-être qu'avancer très légèrement en théorie des groupes peut y aider (ce fut mon cas).
  • @Riemann_lapins_cretins Pourriez-vous détailler les résultats que vous évoquez? Je crois ne jamais les avoir rencontrés donc j'ai du mal à voir de quoi il s'agit.

    Et merci à tous pour les réponses que vous avez déjà envoyées!
  • Bonjour,

    il faut aussi savoir refaire l'exercice consistant à montrer que (en caractéristique nulle), toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle (et même orthogonalement semblable lorsque $K=\R$) puis savoir montrer que ces matrices sont exactement les crochets $[A,B]$.

    À propos de l'exercice sur $u_{n+1}=\sin u_n$ et de la jolie astuce renvoyant à Ernesto "Che" Zàro ;-), je fais remarquer que j'ai déjà vu des cas où elle ne suffit pas ; en revanche, on peut plus généralement tenter de trouver un $\alpha$ tel que $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ soit le terme général d'une série divergente de signe constant. Par parenthèse, étant en Sup, j'avais bien séché sur $\sin u_n$ sans penser à la méthode "bien connue" ; des gens bien plus forts que moi m'ont d'ailleurs avoué sans honte la même chose.
  • Contrairement à JLapin, j'estime qu'un programme exigeant est une bonne chose afin qu'on soit d’accord sur les connaissances indispensables à tel ou tel niveau, qui sont la condition sine qua non pour pouvoir résoudre les problèmes. Maintenant si on le trouve trop exigeant, ce programme, on peut toujours faire autre chose.

    Il est d'ailleurs de moins en moins « exigeant », ce programme. Pour ceux qui racontent que la baisse du niveau d'exigence est un
    « fantasme décliniste», qu'ils comparent seulement les programmes actuels de Math-Sup et Math-Spé (avec les nouvelles appellations de ces classes) et par exemple le contenu des Ramis-Deschamps-Odoux (années 1980), bien connus sur ce forum sous le diminutif RDO.

    En plus des connaissances officiellement requises, il y a ce qu'on pourrait appeler l'adhérence du programme, la liste des résultats ou des méthodes qu'il convient de connaître sans qu'ils soient explicitement au programme. La question d'Adrien2019 est donc tout à fait légitime et pertinente. On pourra utiliser ce fil pour produire une telle liste. Il faudrait distinguer selon les sections, et première ou deuxième année.

    Je vois déjà par exemple les intégrales de Wallis, ou la transformation d'Abel.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.127870
  • JLapin critique surtout le manque de liberté pédagogique mais je crois qu'il n'y a pas moyen de faire autrement si on veut un minimum d'égalité des candidats au concours.

    Pour ma part quand j'étais en prepa il y a >30 ans je travaillais sur les exercices du RDO, du Arnaudiès-Fraysse et sur les annales de concours, sans me poser de questions sur ce qu'il "faut" savoir.
  • $~~~~~$ $~~~~~$L'existence d'un programme national ne nuit pas à la liberté pédagogique, ou du moins ne lui nuisait pas lorsque le programme se bornait à une liste de questions qui devaient être étudiées au cours de l'année. Le professeur était libre de les traiter dans l'ordre qui lui convenait et de la manière qui lui convenait. L'important était qu'à la fin de l'année scolaire tout le programme ait été étudié.

    $~~~~~$ $~~~~~$ Ce qui nuit à la liberté pédagogique, ce sont les programmes tels qu'ils sont libellés aujourd'hui, avec leur boursouflure
    « didacticienne » prétentieuse, imposant au professeur ce qu'il doit traiter à telle ou telle période de l'année, et comment il doit le faire. C'est sans doute pour complaire aux exigences - largement fantasmées - des sciences physiques, et pour offrir aux
    « didacticiens » l'illusion qu'ils servent à quelque chose. Bien sûr, silence radio du côté de l'Union des Professeurs de Spéciales,
    qui devrait pourtant défendre la liberté des professeurs.
  • Pour la suite sin(un) alea en donne une superbe heuristique dans son premier livre, chapitre de rappels.

    Sinon pour comprendre de quoi je parle regarde (je crois) Mines en 1996. Ça parle de nombres constructibles à la règle et au compas donc c'est un sujet passionnant en plus de t'apprendre ce que je veux dire.

    J'imagine que si on parle des écrits et des oraux à part, on peut donner pour ces premiers des parties complètes de concours à savoir refaire rapidement.
    Par exemple être à l'aise sur Fourier.
  • Par exemple être à l'aise sur Fourier.
    Je ne suis pas complètement d'accord spécifiquement sur ce point. L'analyse de Fourier ayant complètement disparu du programme (ce que je déplore !), il y a désormais très peu de sujets qui s'y consacrent voire quasiment pas ces dernières années. Ce n'est pas de l'adhérence immédiate du programme.

    Par contre il est certain qu'il faut être solide en probabilités. Tous les grands classiques de la théorie des probabilités sont refourgués aux écrits ces dernières années : marches aléatoires, chaînes de Markov finies, théorème central limite, matrices aléatoires et théorème de Wigner etc. C'est un bon calcul de refaire ces sujets.
  • Pour le chapitre sur les polynômes, j'avais noté les exos suivants (désolé pour les screenshots, mais j'avais la flemme de tout recopier ^^).
    Pour les polynômes de Tchebychev, j'ai essayé d'en donner une version la plus "complète" possible (les trois premières question sont tirées du livre d'oraux X ENS chez Cassini, Algèbre 1); on peut sans doute proposer une version avec moins de questions. Je présume qu'il faudrait donc y rajouter ce que propose Riemann_lapins_cretins .
    Cette liste vous parait-elle bien pour les polynômes?


    Edit: l'exercice 5 rentre peut-être plus dans le cadre du chapitre "fractions rationnelles" étant donné sa solution (je l'ai mis dans les polynômes pour son énoncé).127878
    127880
  • Pour les probabilités, un article publié par Nicolas Tosel: "Probabilités en CPGE scientifique" dans la RMS 123-3 propose une liste de sujets/problèmes. Je ne sais pas s'il s'agit de sujets "classiques" qui devraient entrer dans le cadre du cours (l'article est relativement long donc c'est sans doute déraisonnable de vouloir tout inclure dans un cours), mais cette liste fournit peut-être des idées. Je ne publierai évidemment pas l'article par respect pour l'auteur, mais ceux qui y ont accès peuvent peut-être commenter cette liste (c'est juste pour donner des idées pour la partie "probabilités").
  • Oui, je dois un peu dater. A mon époque (première année des probas en prépa) ce n'était ni programme ni adhérence mais c'était souvent dans les anales récentes façon "chapitre n+1" si je me souviens bien.
    D'ailleurs je trouve difficile d'être bien préparé en probas en si peu de temps de recul. Je me souviens que la première question de je ne sais plus quel sujet d'X de mon année demandait "Montrer que nananana = 0 avec probabilité 1".
    Le problème était que sur le coup, la quantité avait l'air d'être nulle...tout court.

    La distinction entre presque sûr et exact ne va pas vraiment de soi sans théorie de la mesure j'ai tendance à trouver, ou sans parenthèse en cours d'année.
    Pour paraphraser OShine l'ancien : "Le rapport du jury a dit ne pas pénaliser les candidats ne distinguant pas sûr et presque sûr pour cette question, mais que la confusion était manifeste et que la compréhension de la nuance était manifestement corrélé à la réussite du sujet".
  • Chaurien a écrit:
    Ce qui nuit à la liberté pédagogique, ce sont les programmes tels qu'ils sont libellés aujourd'hui, avec leur boursouflure
    « didacticienne » prétentieuse, imposant au professeur ce qu'il doit traiter à telle ou telle période de l'année, et comment il doit le faire.

    Outre le blabla didacticien, le niveau de détail des programmes est parfois excessif. Quel besoin par exemple d'obliger les professeurs à donner la définition d'une limite avec des inégalités larges ?127884
    127886
  • Bien sûr il y a le jeu des cinq familles de polynômes orthogonaux classiques, chacune avec ses particularités : Legendre,
    Tchebychev I, Tchebychev II, Hermite, Laguerre. En deuxième année, lors des espaces préhilbertiens. Mais on peut en étudier certaines propriétés indépendamment de leur caractère de familles orthogonales, même dans des classes où les espaces préhilbertiens ne sont pas au programme.
    Par exemple, la suite complexe : $\displaystyle Z_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\prod }}(1-2i\cos \frac{k\pi }{n+1})$, où $i^{2}=-1$, est en fait une suite réelle très connue.
  • @Riemann_lapins_cretins X MP 2016 maths 2?

    Si c'est le cas je m'en souviens j'ai planché dessus ^^! D'ailleurs les corrigés que j'ai consultés ignorent cet aspect, le comble étant carrément le "sujet" publié par Docsolus (qui proposeon peut déb pourtant des corrigés bien meilleurs que la moyenne): https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2016/MP_MATHS_X_2_2016.enonce.pdf qui diffère de l'énoncé (sans doute les professeurs n'ont-ils pas compris ce que le sujet voulait dire; je dois avouer que sur le coup moi non plus: l'énoncé était un peu déconcertant, et sans doute mal formulé).

    @Chaurien je pensais mettre cette partie dans le chapitre sur l'orthogonalité. Je me permets de joindre à ce message les QUELQUES pages d'un livre (donc seulement un extrait, par respect pour l'auteur) qui selon moi contiennent les résultats à connaitre sur les polynômes orthogonaux (on peut bien sûr débattre de si ce document contient en effet "les résultats à connaître" sur ces polynômes).


    @Chaurien pourriez-vous également détailler ce que vous dîtes sur cette suite $Z_n$? Je ne l'ai jamais rencontrée...
  • De quel livre de Chambadal provient cet extrait ?
    Il a oublié Tchebychev II, ça m'étonne de lui.
  • Je crois que c'est un sujet de proba que l'X a publié sur son site et qui était différent de celui distribué aux élèves...
    Ce n'est peut-être pas de la faute de DocSolus du coup :)
  • @Chaurien cf photo (à partir de page 430). Je précise que, possédant la photocopie mais ne l'ayant pas réqlisé moi-même, il est possible que ce dont vous parlez soit présent dans l'ouvrage mais pas dans la photocopie (je n'ai pas vérifié, mais il faudrait vérifier dans l'ouvrage en question ; je prendrai peut-être le temps de le faire si je trouve ledit temps...).

    @JLapin cf document ci-joint (sujet de l'X, qui je le confirme, au moins pour la première question, est conforme à ce qui a été distribué, et différent de ce que propose Docsolus). Vous pouvez vérifier ce que j'affirme sur le site Docsolus (pour les sujets qu'ils publient) et sur le site gargantua (de l'X) pour le sujet que je viens de joindre pour vérifier la différence, par exemple pour la première question.127910
  • Je n'ai peut-être pas été clair.
    L'X a distribué un sujet aux élèves et publié un autre sujet sur son site ce qui est complètement ahurissant.
    Quel énoncé devait prendre DocSolus pour son corrigé ? Ils se sont peut-être embrouillés entre les différentes versions mais la faute initiale revient à l'X tout de même.
  • Merci, Adrien2019. J'ai connu Lucien Chambadal, un homme franc et énergique, au caractère très affirmé. Un grand travailleur, auteur d'un grand nombre d'ouvrages, plusieurs en collaboration avec Jean-louis Ovaert, très intéressants. Je ne connaissais pas ce livre-ci.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • @JLapin Je pense que c'est plus compliqué. SELON MOI (et cela peut être bien sûr débattu), il est imputable à l'X d'avoir fait des sujets peu clairs, voire même comprenant des fautes (il y a des erreurs dans le sujet que je ne détaillerai pas ici ; néanmoins la première question du sujet originel ne semble pas comporter d'erreur).

    Cela étant dit, le site Docsolus prétend donner des corrigés DES SUJETS D’ÉCRITS, c'est-à-dire des sujets QUI SONT TOMBÉS, et non pas des sujets qu'ils ont adaptés pour leurs corrigés. Les sujets donnés devraient donc être conformes aux sujets effectivement posés. S'ils ne trouvent pas de solution aux VÉRITABLES sujets ayant été posés (ce que je ne critique pas : cela peut arriver même avec une très bonne équipe de correcteurs, et ce même lorsque le sujet est ambiguë), ils se devraient tout de même de fournir le VÉRITABLE sujet EN MENTIONNANT qu'il y a des ambiguïtés et que le corrigé s'y adapte, au lieu de fournir une "contrefaçon" sans préciser qu'il s'agit d'une adaptation du sujet (ce qui, soyons clairs, laisseraient bien évidemment, selon la politique de DocSolus, penser aux élèves que le sujet qu'ils donnent correspond au sujet effectivement posé lors du concours).
    Pour que ça soit totalement clair, JE NE LEUR REPROCHERAIS PAS de fournir le VRAI sujet en énoncé et de proposer une correction qui leur semble adaptée (du moment bien sûr qu'ils précisent les raisons qui les motivent à répondre à une question différente de la question initiale). Je leur reproche en revanche d' "arnaquer" les lecteurs en fournissant un sujet qu'ils prétendent être (ou être une re-copie du véritable sujet) le sujet originel de l'X sans préciser qu'il y a eu des modifications (qui pour le coup sont réellement significatives) par rapport au sujet originel.
  • @gai requin J'avais hésité à faire ce commentaire sur Cahuzac (ou sur le "cas Huzac") XD!


    @Chaurien pourriez-vous encore une fois préciser votre énoncé d'exercice sur la suite $Z_n$ que vous mentionnez?
  • ...vous dites...
    https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/dire.php
    « vous dîtes » existe, mais c'est le passé simple.
    .........................................................................................................
    Pour l'instant je ne détaille pas, il faut chercher. Bon courage.
  • Ou alors il s'exprimait au passé simple.
    "Pourriez-vous préciser ce que vous suggérâtes sur la suite $Z_n$ ?" me semble correct et concordant.
  • JLT a écrit:
    JLapin critique surtout le manque de liberté pédagogique mais je crois qu'il n'y a pas moyen de faire autrement si on veut un minimum d'égalité des candidats au concours.
    C'est le contraire qui est vrai. Les ENS n'hésiteront pas à demander des trucs comme "montrer que $\ell^p(\N)$ est séparable" (je l'ai vu il y a quelques années à peine sur une liste d'exos) ou autres joyeusetés de cet ordre puisque certains lycées s’assoient allègrement sur ces règles.

    [** modéré : hors du sujet de la discussion. AD]
  • @adrien2019 il me semble que les exercices X-ENS de Francinou Gianella Nicolas contiennent la plus part des classiques à connaître pour la taupe.
  • "Montrer que $\ell^p(\N)$ est séparable" est parfaitement faisable dans le cadre du programme à partir du moment où on sait ce qu'est un espace vectoriel normé et ce qu'est une partie dense. Cela dit, connaître un peu plus que le programme peut toujours être utile puisque les examinateurs s'inspirent parfois de maths plus avancées pour confectionner leurs exercices d'oraux. Cela ne veut pas dire qu'il est nécessaire de connaître plus que le programme pour réussir à résoudre les exercices.
  • Je viens de cacher un certain nombre de messages détournant la discussion.
    Merci de rester dans le sujet.
    AD
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