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Théorème de Reim

Je salue Monsieur Aymé au passage...

Étant donné deux cercles sécants en A et B, on mène par M deux sécantes qui passent par A et B et coupent les deux cercles en P et Q sur MA et R et S sur MB. Alors les droites PR et QS sont parallèle.

La démonstration est facile par les angles ou les antiparallèles.

Ma question est
Y a-t-il des choses intéressantes à démontrer quand les cercles ne se coupent pas (deux cas) et/ou que M prend des positions spéciales ? Par exemple, les cercles étant extérieurs l'un à l'autre, les sécantes issues de M ne coupent pas un des cercles.

"Ne pas couper" laisse toujours la place aux imaginaires.
Merci de vos suggestions.
Amicalement.
Mathisse
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