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Théorème de Choquet-Deny

Bonjour, j'ai trouvé le problème suivant utilisant la théorie des martingales.

Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue bornée et $X$ une v.a.r telle que $$\forall x \in \mathbb{R},\qquad f(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x+y)dP_{X}(y)=E[f(x+X)].
$$ Vérifier, en utilisant une martingale adéquate, que pour tout $x \in \mathbb{R},\ y \in \text{supp }P_X:=\{y \in \mathbb{R}\mid \forall r>0,\ P_X([y-r,y+r])>0\}$ $($le plus petit fermé $F$ et tel que $P_X(F)=1),\ f(x+y)=f(x).$

Pour cela on considère une suite $(X_k)_k$ de v.a.r.i.i.d de même loi que $X,Y_k=f(x+\sum_{r=1}^kX_k),$ et $\mathcal{F}_k=\sigma(X_1,...,X_k).$ On peut remarquer que $E[f(x+Y_{k+1})\mid\mathcal{F}_k]=\int_{\mathbb{R}}E[f(x+Y_k+y)]dP_{X_{k+1}}(y)=f(x+Y_k)$.
On conclut que $(Y_k)_k$ est une martingale bornée dans $L^2,$ alors elle converge p.s et dans $L^1$ vers une v.a.r $Y_{\infty}$ et telle que pour tout $k,Y_k=E[f(x+Y_k)]=E[Y_{\infty}|\mathcal{F}_k]$ et en particulier $E[f(x+X_1)]=E[Y_{\infty}\mid\mathcal{F}_1].$

Avez-vous des idées comment conclure l'exercice ? J'ai essayé de vérifier que $Y_{\infty}$ est conctante p.s. Aussi, comment utiliser la continuité de de $f$ ?
Merci d'avance !
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