Variété lisse et compacte

evariste21

Bonjour,

Prouver qu'une variété lisse et compacte de dimension $n$ ne peut pas être encastrée plongée dans $\mathbf{R}^{n}$.

Merci.

Rescassol

Bonjour,

Quelle est la définition mathématique de "encastrée" ?

Cordialement,

Rescassol

evariste21

Salut,

J'ai corrigé.

evariste21

Bonjour,

Des idées ?

marco

Si $f$ est un plongement de la variété compacte $K$ dans $\R_n$, alors $Df$ est une application linéaire injective en tout point de $K$. Or la dimension de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée est la même car $\dim K= \dim \R^n=n$, donc $Df$ est un isomorphisme en tout point $x$ de $K$. D'après le théorème d'inversion locale, il existe $U$ un voisinage ouvert de $x$ et $V$ un voisinage ouvert de $f(x)$ tels que $f$ restreint à $U$ est un homéomorphisme entre $U$ et $V$. Donc pour tout $x$ de $K$, $f(K)$ contient un voisinage ouvert (dans $\R^n$) de $f(x)$. Donc $f(K)$ est un ouvert de $\R^n$.
L'image d'un compact par une application continue est un compact donc fermé. Donc $f(K)$ est aussi fermé dans $\R^n$. $\R^n$ est connexe, donc $f(K)$ est $\emptyset$ ou $\R^n$.
Donc $K$ étant non vide, $f(K)$ est $\R^n$, mais $f(K)$ doit être compact. Contradiction.

totocov

il faut préciser "sans bord" pour la variété, non ?

Chalk

Je n'ai pas lu la preuve de marco, mais le disque unité fermé me paraît bien être une variété lisse et compacte (avec bord) de dimension 2, qu'on peut plonger dans $\R^2$ (via l'application identité).

totocov

oui, c'est pour cela qu'il faut préciser "sans bord" dans l'énoncé initial,  non ?

Renart

Pour certaines personnes une variété est automatiquement sans bords. Il y a donc les variétés tout court dont tous les points ont des voisinages homéomorphes à un ouvert de $\R^n$ et les variétés à bords.