Saut de $\Z$ à $\C$ pour la division

topopot

Bonjour,

Il s'agit de l'exemple de la capture d'écran ci-dessous, plus précisément du passage en jaune.

Afin d'être certain de le comprendre pleinement, pouvez-vous confirmer ma compréhension de ce que j'ai surligné en jaune (pour le reste aucun problème) ?

• Comme $X^{2^p}+X^{2^{p-1}}+1$ a pour coefficient dominant $1$ qui est inversible dans $\Z$, la division euclidienne de $X^{2^n}+X^{2^{n-1}}+1$ par $X^{2^p}+X^{2^{p-1}}+1$ dans $\Z[X]$ est légitime.
• Comme $\Z$ est un sous-anneau de $\C$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $X^{2^n}+X^{2^{n-1}}+1$ par $X^{2^p}+X^{2^{p-1}}+1$ sont les mêmes que cette division soit effectuée dans $\Z[X]$ ou dans $\C[X]$.
• En particulier, il suffit donc de montrer que $X^{2^p}+X^{2^{p-1}}+1$ divise $X^{2^n}+X^{2^{n-1}}+1$ dans $\C[X]$ pour avoir le résultat cherché.

Poirot

C'est exactement ça.

Frédéric Bosio

Quand tu as deux polynômes de $R [X]$, où $R$ est un anneau commutatif intègre, tu peux effectuer leur division euclidienne dans le corps des fractions de $R$ (ou un surcorps quelconque d'icelui). Si le diviseur a un coefficient dominant inversible dans $R$, tu peux voir facilement que tu restes dans $R[X]$. Ainsi, le diviseur divise le dividende dans le corps des fractions si et seulement s'il le divise dans le surcorps.

topopot

Merci.