Endomorphisme de rg r, polynôme de degré r+1

J

Bonjour
Je suis tombé sur un exercice dans lequel il faut montrer que si l'on a un endomorphisme de rang égal à r dans un ev de dimension n alors il existe un polynôme annulateur de cet endomorphisme de degré r+1 (dans mon exo ça sous entendait plutôt r+1 ou moins)
Donc à part dans le cas où le rang est égal à la dimension de E, je ne vois pas comment je pourrais montrer un tel résultat.
J'avais tenté de partir de Jr mais j'en ai vite conclu que ça allait pas être d'une grande aide.
Je demande donc votre aide.
Je remercie à l'avance toute personne qui répondra à ce message.

Frédéric Bosio

Demande-toi quelle est la dimension du noyau, et ce que cela implique entre les puissances de $X$ dans le polynôme caractéristique et le polynôme minimal.

Chaurien

Soit $f $ un endomorphisme de rang $r$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$. Le sous-espace-image $F=f(E)$ est stable par $f$. Considérer l’endomorphisme induit $\widehat{f}$, et ses polynômes annulateurs.

J

Je réponds un peu tard, mais avec le théorème des noyaux j'obtiens une somme directe de noyaux qui vaut E donc l'un est celui de u, mon endomorphisme, où u est élevé à la puissance Alpha p. Je précise que j'ai suppose la valeur propre lambda p égale à 0 et que la puissance associée donc alpha p ( désolé pour l'écriture, je suis sur téléphone et je ne trouve rien qui puisse me permettre d'exprimer mathematiquement ce que je dis ) et que j'ai utilisé le th de Cayley Hamilton pour avoir un polynôme annulateur de référence duquel j'aimerais faire diminuer le degré.

Ensuite j'ai dit que si l'on prend u restreint au noyau cité précédemment alors il est nilpotent, d'indice de nilpotence d<=alpha p. Et donc x^d divise x^(alpha p).
À partir de là je pourrais continuer en disant que je remplace le x^(alpha p) par x^d dans mon polynôme en disant que je me rapproche du polynôme minimal mais je comprendrais à moitié à ce moment là.

J

D'ailleurs, à aucun moment je n'exploite le th des noyaux donc autant ne pas y faire attention...

Frédéric Bosio

Je suis un peu étonné que tu obtiennes naturellement une somme directe de noyaux dont l'un est celui de $u$.

J

Il s'agit de celui de u^(alpha p).

raoul.S

Je suivrais l'indication de Chaurien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2315870,2315928#msg-2315928 à ta place, elle permet de résoudre très simplement l'exo.

Chaurien

Allez, encore une indication. Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $n$ admet un polynôme annulateur de degré $n$ (d'après Cayley-Hamilton). Si $f$ est de rang $r$, l'endomorphisme induit $\widehat{f}$ admet donc un polynôme annulateur de degré...

J

Au début je ne voyais pas vraiment en quoi travailler sur l'image et non le noyau pouvait aider mais vu comme ça on trouve immédiatement le polynôme. Il suffit juste d'évaluer en f(x) une fois qu'on l'a trouvé.
Merci beaucoup et bonne soirée.