Convergence faible vs convergence
Bonjour à tous
Je me permets de solliciter votre aide car je rencontre des difficultés dans la compréhension de la correction de l'exercice suivant.
Pour la d), je n'arrive pas à montrer que : $||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||1/2$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers l'infini, où $|||.|||$ désigne la norme des fonctions linéaires.
Il est écrit dans la correction que :
$1 =1/2 |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\limsup \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| =1 $
(tout ça quand $n$ tend vers l'infini, et $ \lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}$ désigne la convergence faible étoile.
On en a déduit que comme la $\liminf = \limsup$ quand $n$ tend vers + l'infini, ça tendait vers $1$.
Ce que je n'ai pas compris en revanche, c'est pourquoi $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$, et pourquoi
$ |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$.
Merci d'avance pour votre aide
Je me permets de solliciter votre aide car je rencontre des difficultés dans la compréhension de la correction de l'exercice suivant.
Pour la d), je n'arrive pas à montrer que : $||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||1/2$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers l'infini, où $|||.|||$ désigne la norme des fonctions linéaires.
Il est écrit dans la correction que :
$1 =1/2 |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\limsup \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| =1 $
(tout ça quand $n$ tend vers l'infini, et $ \lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}$ désigne la convergence faible étoile.
On en a déduit que comme la $\liminf = \limsup$ quand $n$ tend vers + l'infini, ça tendait vers $1$.
Ce que je n'ai pas compris en revanche, c'est pourquoi $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$, et pourquoi
$ |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$.
Merci d'avance pour votre aide
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Réponses
2) $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$ est simplement égal à $|||\frac{f}{|||f|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| = 2 $ car $\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}= \frac{f}{|||f|||}$.
3) Enfin l'inégalité $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le \liminf||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$ découle du point c).