Changement de variable - rédaction
Réponses
-
Ici, on a une explication. Et c’est bien celle de Héhéhé si j’ai bien compris.
https://uel.unisciel.fr/mathematiques/integration/integration_ch03/co/apprendre_ch3_06.html
Je joins une photo.
On observe une coquille (un $\alpha$ au lieu d’un $a$) et un abus de langage avec « il faut trouver » puis « la fonction doit donc être bijective ».
La seule « nécessité » à être bijectif tient du fait de pouvoir écrire $\phi^{-1}(x)$.
En mettant « il suffit » à la place de « il faut », c’est déjà plus correct mathématiquement.
Ainsi, comme les fonctions sont $C^1$, il suffit de parler de stricte monotonie.
Mais pourquoi est-ce un sujet pour le « généralisé » et pas « sur le segment » ?
Quant au sujet de la composition, j’essaye de réfléchir et à voir que ce n’est pas un problème dans ce cas précis du changement de variable (généralisé ou non). -
En fait le problème est qu'il peut se passer des "gags" puisqu'on passe à la limite. Par exemple si on se retrouve avec des bornes de la forme $\phi(a)$ et $\phi(b)$ avec le changement de variable $\phi : t \mapsto t^2$, ça se passe bien sur le compact $[a,b]$ car on retrouve un compact $[a^2,b^2]$ (ou $[b^2,a^2]$) mais en passant aux limites $a \to - \infty$ et $b \to +\infty$, on voit bien qu'il y a un problème car on se retrouve avec "$]+\infty,+\infty[\:=\emptyset$.
L'hypothèse de stricte monotonie est une condition suffisante pour éviter ce genre de problème. Mais ce n'est en aucun cas nécessaire.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres