Polynôme
Bonjour,
Je me place dans le plan avec comme point de coordonnée A(0,1) et B(2,0), je cherche à relier les points A et B par une courbe.
Je sais que ma fonction atteint un maximum en A et un minimum en B ce que je peux traduire par:
-f(0)=1
-f(2)=0
-f'(0)=0
-f'(2)=0
De plus j'impose à f les conditions suivantes:
-f''(0)=0
-f''(2)=0
Je cherche à déterminer le degré minimal de mon polynôme pour être sûr d'avoir au moins une solution
Je ne vois pas quel outil utiliser
Cordialement.
Je me place dans le plan avec comme point de coordonnée A(0,1) et B(2,0), je cherche à relier les points A et B par une courbe.
Je sais que ma fonction atteint un maximum en A et un minimum en B ce que je peux traduire par:
-f(0)=1
-f(2)=0
-f'(0)=0
-f'(2)=0
De plus j'impose à f les conditions suivantes:
-f''(0)=0
-f''(2)=0
Je cherche à déterminer le degré minimal de mon polynôme pour être sûr d'avoir au moins une solution
Je ne vois pas quel outil utiliser
Cordialement.
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Réponses
Avec tes conditions sur f'', c'est assez facile de montrer qu'on ne peut pas trouver moins, non ?
On peut déjà tester si le polynôme d'Hermite associé aux quatre premières conditions fonctionne.
Là, vu la symétrie du truc, je parierais sur un polynôme de degré 3.
On peut commencer par $P=(X-1)^3+\frac{1}{2}+aX^2+bX$ avec $a$ et $b$ tels que $P(1)=P^\prime(1)=0$.
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne sais pas si on a une théorie pour expliciter les polynômes d'interpolation en des points et leurs dérivées successives. Déjà que pour Hermite ce n'est pas une mince affaire...
De plus, $2$ est une racine d'ordre 3 de $P$ puisque $P(2)=P'(2)=P''(2)=0$ donc $(X-2)^3$ divise $P$.
Donc, $P$ est au moins de degré 3.
De même, 0 est racine d'ordre 3 de $P-1$ donc $X^3$ divise $P-1$.
On en déduit qu'il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que $P=U(X-2)^3=1+VX^3$.
Par soustraction, $U(X-2)^3-VX^3=1$ donc, il suffit de choisir pour $U$ et $V$ des coefficients de Bézout de $(X-2)^3$ et $X^3$. On sait alors que l'on peut trouver de tels polynômes $U$ et $V$ tels que le degré de $U$ est strictement plus petit que celui de $X^3$ et celui de $V$ est strictement plus petit que celui de $(X-2)^3$.
Ainsi, il existe une solution de degré inférieur ou égal à 5 et on peut la déterminer en cherchant des es coefficients de Bézout de $(X-2)^3$ et $X^3$, par exemple avec l'algorithme de division euclidienne étendue.