Polynôme irréductible (pour en finir)

topopot

Soient $\K$ un corps et $P\in \K[X]$.

1. $P$ n'est pas le produit de deux polynômes de degrés strictement inférieurs au sien.
2. $\deg(P)\geqslant 1$ et $P$ n'est pas le produit de deux polynômes de degrés supérieurs ou égaux à $1$.
3. $P$ est non inversible et pour tout $(S,T)\in\K[X]^2$ tel que $P=ST$, $\deg(S)=0$ ou $\deg(T)=0$.
4. $P$ est non nul, non inversible et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à $P$.
5. $P$ est non nul et $(P)$ est un élément minimal dans l'ensemble des idéaux principaux et stricts de $\K[X]$ ordonné par $\supset$.
6. $\K[X]/(P)$ est un corps.

Mes questions :
1) Pouvez-vous me confirmer que toutes ces propositions sont équivalentes et que de plus, chaque ligne est "minimale" ?
2) Ces équivalences restent vraies si on remplace $\K$ par un anneau intègre $A$ (i.e. commutatif et tel que tout produit fini d'éléments non nuls est non nul) ? J'ai l'impression qu'il y a un problème avec la 3.

NB. $(P)$ désigne l'idéal engendré par $P$ et on dit que $Q$ est associé à $P$ si $(P)=(Q)$.

Merci par avance pour votre aide.

Edit : ajout de 6.

MrJ

Sur un corps, ces propositions me semblent équivalentes.

Par contre, ce n’est pas le cas sur $\Z[X]$ : le polynôme $2X$ vérifie les deux trois premiers points, mais pas les autres.

Édit : Correction suite à la réponse ci-dessous.

topopot

Merci, bien noté pour le cas d'un corps.

Par contre, je ne suis pas sûr de comprendre en quoi ton exemple met en défaut 3.
Je suis en revanche d'accord qu'il met en défaut 4 car $2$ divise $2X$ et n'est pas inversible ni associé à $2X$.
De même il met en défaut 5 car $\Z\neq(2)\supsetneq (2X)$.

MrJ

Pour $3$, je me suis effectivement trompé. 8-)

topopot

Merci MrJ encore une fois !

topopot

À noter qu'on peut rajouter une autre CNS :

6. $\K[X]/(P)$ est un corps.