Sur l'opérateur laplacien $\Delta_n$

linalili

Bonjour,
j'ai deux questions s'il vous plaît, je définit l'opérateur suivante :
$$
A:=\Delta_{n}+P \text { avec } D(A):=\left(H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)\right)^{n},

$$ avec $\triangle_{n}:=I_{n} \triangle$ et $D(\triangle):=H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$. ($(\triangle$ c'est l'opérateur laplacien)
je suppose que $0<\lambda_{1}<\lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \cdots$ sont les valeurs propre de $- \Delta$ et $e_{i} \in D(\triangle)$ sont les vecteurs normaux associé.

1) Pourquoi cette inégalité est vraie : $\langle \Delta_{n} x, x\rangle_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}} \leq-\lambda_{1}\|x\|_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}}^{2}$ ?

Merci beaucoup en avance.

Renart

Bon alors déjà pourquoi est-ce que tu utilises tantôt $\Delta$ comme il faudrait et tantôt $\triangle$ ? C'est très perturbant.

Pour ta question il suffit de décomposer chaque coordonnée de $x$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $\Delta$ et de dérouler les calculs.

Math Coss

Le noyau est trivial ?

Renart

Math coss : j'imagine, sinon l'égalité serait fausse. Linalili ne précise pas ce qu'est $\Omega$... je suppose qu'il s'agit d'un ouvert borné de $\R^n$ avec une frontière sympathique. Et puisqu'on ne considère que des fonctions qui s'annule sur le bord...

linalili

Oui vous avez raison @Renart le $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ est un domaine borné avec une frontière assez régulière.
Merci