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Traduction de "converse theorem" en français

Bonjour,

Quelqu'un saurait comment on traduit l'expression "converse theorem" telle qu'apparaissant dans les articles visant à montrer que certaines fonctions L de la classe de Selberg proviennent de formes modulaires ou automorphes comme le preprint de Michael Farmer paru ce matin dans la section Number Theory d'arxiv ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Réciproque d'un théorème?
  • Théorème réciproque ?
  • Tu veux juste la traduction de "converse theorem", ce qui est plutôt simple, ou bien pourquoi on appelle ainsi cette famille de théorèmes ?
  • Les deux en fait.
  • Je crois que dans ce contexte on parle de théorèmes inverses.
  • Tu prends deux suites de complexes $(a_n)$, $(b_n)$, avec $a_n, b_n \ll n^\varepsilon$, tu leur associes les deux fonctions holomorphes $f,g$ sur $\mathbb{H}$ par
    $$f(z) = \sum_{n \geqslant 1} a_n e(nz) \quad \textrm{et} \quad g(z) = \sum_{n \geqslant 1} b_n e(nz)$$
    auxquelles tu attaches leurs séries de Dirichlet $L(s,f)$ et $L(s,g)$, et on note $\Lambda(s,f)$ et $\Lambda(s,g)$ leurs séries de Dirichlet complétées.

    En 1936, Hecke montra l'équivalence des deux assertions suivantes : pour $k \in \mathbb{Z}$

    $\triangleright$ $f,g$ sont deux formes paraboliques de poids $k$ sur $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ et $(f \mid_k T)(z) = g(z)$ ;

    $\triangleright$ $\Lambda(s,f)$ et $\Lambda(s,g)$ se prolongent analytiquement à tout le plan complexe, sont bornées dans toute bande verticale et vérifient l'équation fonctionnelle $\Lambda(s,f) = i^k \Lambda(k-s,g)$.

    D'un point de vue arithmétique, il est plus intéressant de disposer d'un tel résultat sur le sous-groupe de congruence de Hecke $\Gamma_0(N)$, plutôt que sur $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$. Malheureusement, l'équivalence est plus compliquée à démontrer dans ce cas-là, en particulier le sens $\Longleftarrow$. En 1967, Weil a réussi ce tour de force en supposant des informations supplémentaires, i.e. une équation fonctionnelle provenant de fonctions $L$ twistées. C'est ce que l'on appelle le "converse theorem" de Weil, et tout résultat de ce type prend aussi le nom de "converse theorem".

    Ai-je été assez clair ?
  • Presque ! Qu'est $T$ ?
  • Classiquement, $T = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ est l'homographie $z \mapsto z+1$.
  • Poirot a été plus rapide que moi !
  • Merci à vous deux. A ce propos, je signale aux personnes intéressées qu'il existe en librairie un lexique scientifique anglais/français comprenant 25.000 entrées dans différentes sciences dont celle qui nous occupe.
  • En français, on parle de "théorème réciproque". Historiquement, comme l'a rappelé Noix de Toto, les premiers sont dus à Hecke, puis Weil. Mais les spécialistes des formes automorphes en ont démontré beaucoup d'autres. Par exemple, il y a le théorème réciproque de Jacquet et Langlands pour les fonctions L de GL(2), qui date de 1970, celui de Cogdell et Piateski-Shapiro pour GL(n), dans les années 90.
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