Racines d'une transformée d'un polynôme
Bonjour
Je ne sais pas si c'est le bon forum mais c'est peut-être une astuce algébrique qu'il faut malgré le fait que l'énoncé soit plutôt analytique...
Voilà, je suis tombé sur un problème étrange.
Si on a un polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}$ on définit sa transformée rationnelle $R_{P}$ comme suit :
$$
R_{P}(y):=\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha_{k}}{y-k}.
$$ Soit $Z_{P}$ l'ensemble des solutions de $R_{P}(z)=0$ dans $\mathbb{C}$ et soit $\sigma_{P}$ la plus petite partie réelle des zéros de cet ensemble $Z_{P}$. Comment montrer que si $P$ et $Q$ sont deux polynômes quelconques, leur produit $PQ$ vérifie
$$
\sigma_{PQ}\leq\min\left(\sigma_{P},\sigma_{Q}\right).
$$ Par exemple si je prends $P(x)=x^3-2x^2+x+1\ $ et $\ Q(x)=x^4-7x^3+16x^2+x+2,$ j'obtiens $PQ(x)=x^7 - 9x^6 + 31x^5 - 37x^4 + 9x^3 + 13x^2 + 3x + 2$ et donc
$\sigma_{P}=0.621203$
$\sigma_{Q}=0.244910$
$\sigma_{PQ}=0.208814$
et l'inégalité est vérifiée puisque $0.208814<0.244910$.
Si cette propriété est vraie (ce qui me surprend de prime abord et peut-être faudrait-il la restreindre à certains polynômes même si en trifouillant avec l'ordinateur je n'ai pas trouvé de contre-exemple), est-ce selon vous résoluble par l'algèbre ou par l'analyse ? Ou pouvez-vous exhiber un contre-exemple ce qui serait sans doute plus facile (:D
Bonne dimanchade.
Je ne sais pas si c'est le bon forum mais c'est peut-être une astuce algébrique qu'il faut malgré le fait que l'énoncé soit plutôt analytique...
Voilà, je suis tombé sur un problème étrange.
Si on a un polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}$ on définit sa transformée rationnelle $R_{P}$ comme suit :
$$
R_{P}(y):=\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha_{k}}{y-k}.
$$ Soit $Z_{P}$ l'ensemble des solutions de $R_{P}(z)=0$ dans $\mathbb{C}$ et soit $\sigma_{P}$ la plus petite partie réelle des zéros de cet ensemble $Z_{P}$. Comment montrer que si $P$ et $Q$ sont deux polynômes quelconques, leur produit $PQ$ vérifie
$$
\sigma_{PQ}\leq\min\left(\sigma_{P},\sigma_{Q}\right).
$$ Par exemple si je prends $P(x)=x^3-2x^2+x+1\ $ et $\ Q(x)=x^4-7x^3+16x^2+x+2,$ j'obtiens $PQ(x)=x^7 - 9x^6 + 31x^5 - 37x^4 + 9x^3 + 13x^2 + 3x + 2$ et donc
$\sigma_{P}=0.621203$
$\sigma_{Q}=0.244910$
$\sigma_{PQ}=0.208814$
et l'inégalité est vérifiée puisque $0.208814<0.244910$.
Si cette propriété est vraie (ce qui me surprend de prime abord et peut-être faudrait-il la restreindre à certains polynômes même si en trifouillant avec l'ordinateur je n'ai pas trouvé de contre-exemple), est-ce selon vous résoluble par l'algèbre ou par l'analyse ? Ou pouvez-vous exhiber un contre-exemple ce qui serait sans doute plus facile (:D
Bonne dimanchade.
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Réponses
En effet, pour tout réel $y$ strictement supérieur au degré du polynôme $P$, on a :
\[R_P(y)=\int_0^{+\infty}P(e^t)e^{-yt}dt.
\] Je suppose que cela peut aider à aborder le problème... même si je ne vois pas comment, puisque je ne connais rien à la transformée de Laplace.
La proposition suivante, plutôt simple, me semble être un élément essentiel du décor planté par cet énoncé.
$\boxed{\text{Soient }\:\:u_0, u_1, \dots u_n \:\text{ des réels distincts rangés dans l'ordre croissant, }\\
A :=\{u_0, u_1, \dots u_n\}, \quad a_0 ,a_1, \dots a_n \in \R_+^*,\quad f:\C\setminus A \to \C,\quad z \mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac {a_k}{z-u_k}.\\
\text {Alors}\:\: f \:\:\text{ s'annule exactement}\: n\: \text{ fois sur}\: \C\setminus A \:\text{ et ses zéros}\: \sigma_1,\sigma _2 ,\dots \sigma_n\:\text{ sont des réels tels que:}\\ \forall k \in [\![1;n]\!], \: u_{k-1}<\sigma_ k<u_k.}$
Le fait que $ f(z) = \displaystyle \dfrac {R(z)}{\prod_{i=0}^n (z-u_i)}, \:\:\: (R\in \R[X], \:\:\text{deg}(R) =n) $ et l'examen des variations de la restriction de $f$ à $\R\setminus A$ fournissent facilement une preuve de cette affirmation.
On peut supposer que $s:= \mathcal {Val}\left (Q-Q(0) \right) \leqslant \mathcal {Val}\left (P-P(0) \right).\quad$ Ainsi:
$$P = \displaystyle \sum_{i=0}^m a_iX^{i}, \quad Q= \sum_{j=0}^n b_jX^{j}, \qquad a_i ,b_j \geqslant 0, \qquad a_0,b_0, b_s ,a_m ,b_n >0, \qquad \forall i \in [\![1;s-1]\!], \:\: a_i =b_i =0.$$
Appliquée à $R_{PQ}$ et à $R_Q$, la proposition évoquée en préambule entraîne que:
$$ \quad 0<\sigma_Q<s \quad(1),\quad \sigma_P >0, \quad 0< \sigma_{PQ}<s,\quad R_Q(\sigma_Q)= 0 \quad(2). $$
$R_{PQ} \left(\sigma_Q\right) = \displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\dfrac {\sum_{i+j=k}a_ib_j}{\sigma_Q-k} =\sum_{\substack{0\leqslant i \leqslant m \\0 \leqslant j \leqslant n }}\dfrac {a_ib_j}{\sigma_Q-i-j} =a_0 R_Q(\sigma _Q)+\sum _{i=s} ^ma_i R_Q (\sigma_Q-i)\overset{(2)}=\sum _{i=s} ^ma_i R_Q (\sigma_Q-i) \overset{(1)}<0.\\ R_{PQ}(\sigma_Q)<0.$
Or la fonction $R_{PQ}$ est strictement décroissante sur $]0;s[$ et s'annule en $ \sigma _{PQ}.\:\:$ Il s'ensuit que:$\qquad \sigma _{PQ}<\sigma_Q.$
Si $\sigma _P>s,\:\: $ alors avec $(1)$, on obtient $\:\: \sigma _{PQ}<\sigma_P.$
Si $0< \sigma _P<s,\:\: $ alors le calcul précédent effectué pour $R_{PQ}(\sigma_P) $ mène encore à $\:\: \sigma _{PQ}<\sigma_P \:\:\square$
SI les coefficients de $P$ cessent d'être positifs, alors les zéros des $R_P$ dans $\C$ deviennent difficilement localisables et je ne vois vraiment pas comment on pourrait alors gérer leur plus petite partie réelle
En considérant les zéros des prolongements dans $\mathbb{C}$ de $R_{f}$, $R_{g}$ et $R_{fg}$ je n'arrive pas à étendre le raisonnement de LOU16 à la limite. Peut-on d'après vous montrer quand même que $\sigma_{fg}\leq\min(\sigma_{f},\sigma_{g})$ ou y a-t-il un contre-exemple sioux ?
$$3ab+2a+2b+1-2(ab+a+b+1)\min\left(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1}\right)<\sqrt{a^{2}b^{2}+4a^{2}b+4b^{2}a+4a^{2}+4b^{2}+6ab+4a+4b+1}$$