Carrés de nombres dans une progression
dans Arithmétique
Bonjour, il y a quelque temps j'ai posté un rapport dans lequel la somme des (n + 1) carrés de nombres consécutifs était égale à la somme des carrés des nombres consécutifs suivants.
J'ai trouvé une relation analogue où les carrés des nombres constituent une progression arithmétique..
Je présente deux exemples.
$108^2+111^2+114^2+117^2+120^2=123^2+126^2+129^2+132^2$
$42^2+44^2+46^2+48^2+48^2=50^2+52^2+54^2$
Je posterai ensuite la formule qui étant donné n (nombre de termes dans le second membre) et k, la raison de la progression arithmétique, nous permet d'écrire l'égalité requise.
a+
Fibonacci
J'ai trouvé une relation analogue où les carrés des nombres constituent une progression arithmétique..
Je présente deux exemples.
$108^2+111^2+114^2+117^2+120^2=123^2+126^2+129^2+132^2$
$42^2+44^2+46^2+48^2+48^2=50^2+52^2+54^2$
Je posterai ensuite la formule qui étant donné n (nombre de termes dans le second membre) et k, la raison de la progression arithmétique, nous permet d'écrire l'égalité requise.
a+
Fibonacci
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Réponses
dans la deuxième formule $48^2$ ne doit pas être répété deux fois.
Ces formules n'apportent rien de plus à ce qui était déjà écrit dans le fil Somme des carrés des nombres consécutifs
Pour la première égalité on a multiplié par $3^2$ une égalité avec les carrés de nombres consécutifs, pour la seconde on a multiplié par $2^2$.
On a aussi des solutions aussi triviales que négatives:
(-12)2+(-9)2+(-6)2+(-3)2+02 = 32+62+92+122
et aussi:
(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+02 = 22+42+62+82
Il faudrait donc ne considérer que des nombres entiers positifs dans votre énoncé, bien que ces solutions triviales soient intéressantes pour fixer les idées.
Bonne journée.
$252^2+259^2+266^2+273^2+280^2=287^2+294^2+301^2+308^2$
La somme des carrés de nombres consécutifs est un cas particulier de la formule que j'ai trouvée hier (il suffit de prendre la raison égale à 1).
Cela dit, je suis curieux de voir comment vous écrivez une relation à 11 termes sachant que la raison en est 7.
Merci pour la collaboration.
a+
Fibonacci
P.S.Je n'ai pas précisé que je considère les nombres naturels. Cela me semble évident : est-ce que je me trompe ?
L'égalité avec 11 nombres et la raison $7$ s'obtient en multipliant $55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2$ par $7^2$ :
$385^2+392^2+399^2+406^2+413^2+420^2=427^2+434^2+441^2+448^2+455^2$.
Cordialement..
a+
Fibonacci
La formule pour $N=2n+1$ carrés d'entiers consécutifs est la suivante ($N$ est impair) :
$$\sum_{i=0}^n(2n^2+n+i)^2=\sum_{i=n+1}^{2n}(2n^2+n+i)^2.
$$ Celle pour une progression géométrique de raison $k$ est alors :
$$\sum_{i=0}^n(k(2n^2+n+i))^2=\sum_{i=n+1}^{2n}(k(2n^2+n+i))^2.
$$ Je considère que c'est la même formule (après simplification par $k^2$).
Cordialement
a+
Fibonacci
P.S : comment as-tu choisi le 55 ?
le premier terme du membre de gauche est obtenu pour $i=0$, il vaut $nk (2n + 1),$ où $2n+1$ est le nombre total de termes.
Je n'ai pas "choisi" le $55$, je l'ai obtenu pour $n=5$ car $n(2n+1)=55$. Ensuite, $55k=385$.
Merci pour la collaboration.
a+
Fibonacci
P.S
Des relations similaires sont-elles connues pour les cubes ?
Hors bien entendu le cas de la somme de deux cubes (Fermat...)