Exercice sur les sommes

FlashZwift

Bonjour à tous,
je viens de rentrer en L1 de mathématique et je sèche sur un exercice je ne comprends pas comment je dois m'y prendre et une aide serait grandement appréciée..
Voilà comment se présente l'exercice.

Soit $0 \leq n$ et $1 \leq m$ des entiers naturels on note $S_k = \sum\limits_{i=0}^n i^k$.
(a) À l'aide du binôme de [large]N[/large]ewton, montrez que :
$$
\sum_{i=0}^n (i+1)^m = \sum_{k=0}^{m-1} \binom {m}{k} S_k + \sum_{i=1}^n i^m.

$$ J'ai essayé la récurrence, mais je ne vois pas comment prouver l'hérédité ...
Quand j'essaie de le démontrer par le calcul je ne vois vraiment pas comment m'y prendre je me retrouve très vite bloqué ...
Si quelqu'un pouvait me donner une petite piste je lui en serais extrêmement reconnaissant.
Merci d'avance.

[Quand tu modifies ton message, veille à ne pas réintroduire les fautes qui te sont signalées ! Merci. AD :-X]

Ramufasa

Bonjour,

Tu es en début de L1 donc prends bien le temps de tout rédiger voire sur-rédiger en ne sautant aucune étape.

Il faut que tu appliques la formule du binôme de Newton à $(i + 1)^m$ puis que tu isoles le dernier terme de la somme sur $n$ et enfin que tu intervertisses les symbole somme (si le fait que tu aies le droit de le faire ne te paraît pas évident, traite quelques exemples de sommes avec peu de termes).

Poste ici tes calculs si tu souhaites que quelqu'un t'indique des éventuelles erreurs.

Eusebius

Je pense le plus simple reste le calcul et l'indication oriente fortement vers cette piste.
Je te propose une indication des étapes et si tu n'y arrives pas je pourrai les détailler :

1) Appliquer la formule du binôme de Newton à $(1+i)^m$.

2) Séparer le dernier terme de la somme introduite par le binôme de [large]N[/large]ewton en pensant à ce qu'est la valeur du dernier coefficient pour simplifier.

3) Intervertir la somme sur $i$ avec la partie restante de la somme introduite par le binôme de Newton pour faire apparaître $S_k$.

[En toute occasion Isaac Newton (1643-1727) prend toujours une majuscule. AD]

FlashZwift

Merci, beaucoup pour vos réponses je vais essayer comme ça !
P.S : Merci c'est corrigée.