Bijection de rationnels et séries
Réponses
-
Oui, on peut. Il suffit de prendre pour tout les $n$ qui ne sont pas des carrés parfait des valeurs plus petites que $\frac{1}{n}$.
-
merci mais j'ai du mal a bien écrire la bijection pouvez vous détailler?
-
Il n'est sans doute pas nécessaire de l'expliciter. On pose $q_n = \frac{1}{n}$ si $n$ n'est pas carré parfait et on complète par une bijection quelconque entre les carrés parfaits et les rationnels de $[0;1]$ autres que les inverses des non carrés parfaits. On pourrait en écrire une explicitement, mais je pense que c'est inutile. On sait qu'elle existe et cela suffit.
-
Tu vas un peu vite en besogne, Frédéric, il me semble.
Il faut quand même faire en sorte de choisir l'ordre des rationnels de sorte que $\frac{q_n}{n}$ ne soit pas trop grand.
Cela parait faisable, mais ce n'est pas si simple à justifier. -
Pas besoin, ils sont tous plus petits que $1$ et donc on n'a pas besoin de fixer l'ordre.
Petit exercice légèrement plus compliqué (mais pas trop) : Si $0$ est valeur d'adhérence d'une suite $(u_n )_n $, alors il existe une bijection $\phi $ entre $\mathbb N $ et $\mathbb Q $ telle que la série des $u_n \phi (n)$ soit absolument convergente. -
Ah oui, je n'avais pas vu qu'on se restreignait aux rationnels dans [0,1]...
Ça m'apprendra à lire l'énoncé correctement. Vu le nombre de fois que je le préconise à mes élèves en une année, il est de bon ton que je l'applique à moi-même ! -
Mais comment a-t-on l’existence de la bijection des carrés parfaits vers les rationnels de [0,1] différents de 1/n ? Je sais que l’ensemble des rationnels est dénombrable mais je ne saurais pas justifier l’existence de cette bijection là proprement.
Merci. -
Les deux ensembles sont dénombrables : ça suffit à justifier l'existence d'une telle bijection par essence même de la définition de la dénombrabilité.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres