Le sous-groupe des carrés ?

ludo'

Bonjour

Dans un groupe non abélien G le sous-ensemble des carrés est stable pour le passage à l'inverse et contient l'élément neutre de G mais est-il nécessairement stable pour le produit (en d'autre terme est-il un sous-groupe de G) ? Je pense que non mais les petits groupes non abéliens que j'ai testés ne m'ont pas fourni de contre-exemple.

Merci pour vos contributions.:-)

Math Coss

Apparemment, il y a 270 carrés dans $\mathfrak{S}_6$. Vérification...

sage: G = SymmetricGroup(6)
sage: C = G.conjugacy_classes()
sage: K = set([g^2 for g in G])
sage: [(c.an_element(), len(c)) for c in C if c.an_element() in K]
[((), 1),
 ((1,2)(3,4), 45),
 ((1,2,3), 40),
 ((1,2,3)(4,5,6), 40),
 ((1,2,3,4,5), 144)]
sage: add([len(c) for c in C if c.an_element() in K])
270

ludo'

@ Poirot: merci pour cette information mais pourrais-tu s'il te plaît être plus explicite sur ta manière de les dénombrer ?

En parallèle je suis tombé sur cet exercice (aisé) établissant que lorsque G est d'ordre impair alors la fonction carrée est une bijection de G dans G - et dans ce cas les carrés forment effectivement un sous groupe de G.

AD

Bonjour Ludo'
Le premier exemple de groupe non commutatif (fini) pour lequel l'ensemble des carrés n'est pas un sous-groupe est $\mathfrak A_4$.
En effet chaque élément d'ordre 3 est le carré de son inverse, mais les éléments d'ordre 3 engendrent $\mathfrak A_4$ tout entier, qui contient des éléments d'ordre 2 (ceux-ci ne pourraient être que le carré d'un élément d'ordre 4 qui n'existe pas dans $\mathfrak A_4$).
Alain

ludo'

Merci Alain pour cet exemple .:-)

@Poirot: ta capture d'écran ne s'est pas initialement affichée sur le mien, mais je me doutais que ta réponse fulgurante devait résulter d'une assistance informatique.

ludo'

Heu ... à la réflexion et sauf erreur grossière de ma part,les carrés des éléments de $ \mathfrak A_4$ forment en l'état le groupe cyclique engendré par (123) non ?:-S

nicolas.patrois

Ben non, il y a aussi (1 2 4).

ludo'

Grosse boulette: j'ai confondu avec $\mathfrak A_3$ ...

Poirot

Pourquoi suis-je mentionné à deux reprises ? :-S Rendons à Math Coss ce qui est à Math Coss !

gerard0

C'est ça, la gloire !

Math Coss

L'ensemble des carrés est stable par conjugaison. Sage a fait la liste $K$ des carrés (j'aurais pu afficher simplement "len(K)" pour trouver 270...) et la liste $C$ des classes de conjugaison. Pour chaque classe $c$ de $C$, Sage prend un élément $g$ et teste s'il est dans $K$ ; il affiche le couple $(g,|c|)$ si c'est le cas. La dernière ligne calcule la somme des cardinaux des classes d'équivalences.

J'aurais pu faire mieux. On part de la liste $C$ des classes de conjugaison. Pour $c$ dans $C$, on choisit un élément $g$ de $C$, on calcule son carré, puis la classe $c2$ d'équivalence de $g^2$, on détermine l'indice de $c2$ dans la liste $C$ et on élimine les doublons : les indices forment l'ensemble $K$ (comme « carrés »). Il n'y a plus qu'à ajouter les cardinaux des classes de conjugaison d'indice $k$ dans $K$

sage: G = SymmetricGroup(6)
sage: C = G.conjugacy_classes()
sage: K = set([C.index((c.an_element()^2).conjugacy_class()) for c in C])
sage: add(len(C[c]) for c in K)
270

Edit : même calcul avec $\mathfrak{A}_4$.

sage: G = AlternatingGroup(4)
sage: C = G.conjugacy_classes()
sage: K = set([C.index((c.an_element()^2).conjugacy_class()) for c in C])
sage: add(len(C[c]) for c in K)
9

ludo'

@Math Coss : merci pour ce complément d'informations
@AD: merci pour l'exemple