Changement de variable

Fin de partie

OS:
Tu sais à quoi est égal $\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$ sans document? B-)-
(c'est ma formule de trigonométrie préférée)

OShine

Lourran cet exercice n'est pas de niveau polytechnique.

A mon avis il est de niveau CCP centrale grand maximum.

Fin de partie je te réponds plus tard. Je vais le démontrer.

Poirot

L'expert en "niveau mathématique" a encore parlé ! 8-)

Homo Topi

$\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x} = \dfrac{1- \frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \dfrac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)} = \dfrac{\cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \dfrac{1 - \sin(2x)}{\cos(2x)}$.

Sans document :-D

Fin de partie

Homo Topi: mais ce n'est pas le résultat final*. C'est beaucoup plus simple comme résultat (et plus utile en pratique).
Quand on ne connait que cette partie de l'égalité c'est tout de même moins évident à établir.
Si tu connaissais l'autre partie ce serait nettement plus facile. B-)

*: pas le résultat auquel je pensais. Même Wolfy ne propose pas cette identité quand on on lui demande que faire de $\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$. Dans une version précédente d'un article de Wikipedia qui comporte beaucoup d'identités trigonométriques cette identité n'y figurait pas.

lourrran

Oui OShine, tu as totalement raison, je corrige donc mon message :

OShine considère qu'il doit attaquer directement les exercices de niveau concours CCP, il ne veut pas s'abaisser à faire les exercices de niveau fin de lycée ou début de L1....

Tu es d'accord maintenant ?

Homo Topi

FdP : mais je l'ai trouvée sans document :-D. C'est difficile de répondre à ta question quand on ne sait pas quelle forme tu veux voir.

$\dfrac{1}{1+\tan x} - 1$, ça marche aussi. Ou $\dfrac{1}{\cos(2x)} - \tan(2x)$. On peut remplacer le $\cos(2x)$.

C'est égal à des centaines de formules différentes.

Rescassol

Bonjour,

Peut être FdP veut-il qu'on voit que $1=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Alors $\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}=\dfrac{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\tan x}{1+\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\tan x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)$.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Avant qu'on me demande comment on peut penser à ça:
Quand on veut simplifier une expression, il est naturel de regarder si elle a une racine évidente.

OShine

Je ne connais pas l'égalité de fin de partie.

J'ai vérifié dans mon livre, rien.

Poirot

@OShine : Du coup tu ne connais pas l'égalité $45229 + 17 = 45246$ parce que tu ne l'as jamais lue dans un livre ?

Fin de partie

Rescassol:

Bravo ! Oui c'est bien à cette identité que je pensais. Identité qui peut être utile en calcul intégral (quand on effectue le changement de variable $y=\dfrac{\pi}{4}-x$)